Eksponentjaotus on üks pidev tõenäosusjaotus , mida kasutatakse tihti sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel. Kui juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ , siis tähistatakse seda eestikeelses kirjanduses sageli
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
Juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ , kui tema tihedusfunktsiooniks on
f
(
x
)
=
{
0
,
kui
x
<
0
,
λ
e
−
λ
x
,
kui
x
⩾
0.
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&,\;{\mbox{kui }}x<0,\\\lambda e^{-\lambda x}&,\;{\mbox{kui }}x\geqslant 0.\end{matrix}}\right.}
Mõnikord on tähistatud λ-ga jaotuse argumendi pöördväärtust (nt
X
∼
Exp
(
α
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\alpha )}
λ
=
1
α
{\displaystyle \lambda ={1 \over {\alpha }}}
Eksponentjaotusega parameetriga λ juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
,
1
−
e
−
λ
x
,
x
⩾
0.
{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&,\;x<0,\\1-e^{-\lambda x}&,\;x\geqslant 0.\end{matrix}}\right.}
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
keskväärtus on
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
1
λ
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf(x)\operatorname {d} x={1 \over \lambda }}
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
dispersioon on
D
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
∫
0
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
−
1
λ
2
=
1
λ
2
{\displaystyle \operatorname {D} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\int _{0}^{\infty }x^{2}f(x)\operatorname {d} x-{1 \over \lambda ^{2}}={1 \over \lambda ^{2}}}
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
mediaan on
F
−
1
(
1
2
)
=
ln
(
2
)
λ
{\displaystyle \operatorname {F} ^{-1}({1 \over 2})={{\operatorname {ln} (2)} \over \lambda }}
Siin
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
F pöördfunktsiooni .
Eksponentjaotuse kvantiilid avalduvad valemiga
F
−
1
(
p
)
=
−
ln
(
1
−
p
)
λ
{\displaystyle F^{-1}(p)={{-\operatorname {ln} (1-p)} \over \lambda }}
kus
0
⩽
p
<
1
{\displaystyle 0\leqslant p<1}
Eksponentjaotus on nn mäluta jaotus, st iga
s
,
t
⩾
0
{\displaystyle s,t\geqslant 0}
tingliku tõenäosuse kohta võrdus
P
(
X
>
s
+
t
|
X
>
t
)
=
P
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {P} (X>s+t\;|\;X>t)=\operatorname {P} (s)}
See võrdus tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus tulevikus ei sõltu tema mittetoimumisest minevikus. Näiteks kui me teame, et lambipirn on põlenud juba 100 tundi, ning me tahame teada tõenäosust, et ta põleb veel 300 tundi, siis selle tõenäosus on sama, mis tõenäosus, et uus lambipirn põleb 300 tundi.
