Ava peamenüü

Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pika katseseeria, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5.

Sisukord

Matemaatiline definitsioonRedigeeri

Olgu   juhuslik suurus tõenäosusruumist  , siis juhusliku suuruse   keskväärtus   (või  ) on defineeritud Lebesgue'i integraalina:

 .

Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral).

Kui juhuslikul suurusel   leidub tihedusfunktsioon  , siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt:

 .

Kui juhuslik suurus   on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega  ,  , ... ja tõenäosustega  ,  , ... (kusjuures   tähistab väärtuse   realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse   keskväärtust saab arvutada loenduva summana:

 .

Kui suuruse   väärtusi on lõplik arv   (ehk neid väärtusi on   tükki:  ,  , ...,  ), siis

 .


OmadusedRedigeeri

Olgu   ja   keskväärtust omavad juhuslikud suurused.

MonotoonsusRedigeeri

Kui   kehtib alati (st  ), siis ka  .

LineaarsusRedigeeri

  iga reaalarvulise   ja   korral. Muu hulgas

 ,
 .

KorrutatavusRedigeeri

Kui   ja   on sõltumatud, siis  . Üldjuhul ei pruugi see kehtida.

NäitedRedigeeri

TäringuviseRedigeeri

Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 ( ), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis

 ,

kus   tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus,   ja  , nagu eelnevalt kirjeldatud.

Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks   ja  , siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.)

EksponentjaotusRedigeeri

Olgu juhuslik suurus   eksponentjaotusest parameetriga  , st tema tihedusfunktsioon on  , kus  . Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks

 
 
 .

Vaata kaRedigeeri