Ava peamenüü

Alamhulk

(Ümber suunatud leheküljelt Alamsüsteem)
Venni diagramm: A on B alamhulk ehk B on A ülemhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks[1], kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B[2]. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

OmadusedRedigeeri

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

  1. Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,
     
  2. Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,
     
  3. Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.
     
  4. Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.
     

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

TähistusestRedigeeri

Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

 .

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

 ,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

 .

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk.

NäitedRedigeeri

Karakteristlik funktsioonRedigeeri

Hulga B alamhulga   saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni   kaudu:

 .

χA(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
  2. P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6