Üldistatud lineaarne mudel

Üldistatud lineaarne mudel (inglise keeles generalized linear model, lühend GLM) on analüüsimeetod statistikas, mis võimaldab mingit uuritavat tunnust Y prognoosida teiste, sõltumatute tunnuste X abil, kusjuures erinevalt lineaarregressioonist võimaldab üldistatud lineaarne mudel sobitada lineaarse mudeli ka mittelineaarse seose peale. GLM sobitab lineaarse mudeli uuritavale seosele seosefunktsiooni abil.

Logistiline regressioon on üks näide üldistatud lineaarsest mudelist. Tunnuste komplekti X kasutatakse Y prognoosimiseks, kusjuures et siduda X ja Y omavahel, tuleb Y teisendada $[0...1]$ skaalale logit-seosefunktsiooniga. Pildil x- ja y-teljed on kujutatud vastupidi tavapärasele tähistusele.

Olemus

Lihtne lineaarregressioon hindab uuritava tunnuse $Y$ väärtust, kui see on lineaarkombinatsioon sõltumatu tunnuse $X$ väärtustest (vaadeldud väärtused). Sellisel juhul $Y$ allub normaaljaotusele. Olgu meil näiteks lihtne lineaarne mudel, mis hindab õhutemperatuuri põhjal rannas olevate inimeste arvu. Iga 10 °C muutus õhutemperatuuris toob kaasa 1000-pealise muutuse rannasviibijate arvus. Kui on rand, kus inimesi on alguses 50, siis 10 °C languse korral annaks selline lineaarne mudel rannasviibijate arvu hinnanguks võimatu –950 inimest.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab kahte tunnust omavahel siduda nii, et uuritav tunnus $Y$ allub mingisugusele juhuslikule jaotusele, mis ei pea olema normaaljaotus. Meie näite kohaselt tähendaks see, et õhutemperatuuri $X$ muutudes rannasviibijate arv $Y$ võib muutuda mittelineaarselt.

Jätkates sama näidet, olgu meil nüüd mingisugune üldistatud lineaarne mudel. 10-kraadise õhutemperatuuri languse korral selline mudel ei anna meile hinnanguks mitte –950 aktiivset rannasviibijat, vaid esialgsest 50 inimesest poole vähem ehk 25 rannasviibijat. Samas esialgse temperatuuriga võrreldes 10-kraadise tõusu korral oleks rannas jällegi 1000 inimest rohkem. On näha, et $X$ konstantse muutuse korral $Y$ muutub mittelineaarselt. Selles konkreetses näites $Y$ allub Poissoni jaotusele.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab sellist mittelineaarset seost esitada lineaarsel kujul, teisisõnu $Y|X$ oleks justkui lineaarne. Sellist teisendamist üldistatud lineaarses mudelis võimaldab mudelis kasutatav seosefunktisoon (sellest täpsemalt allpool).

Ülevaade

Üldistatud lineaarne mudel eeldab, et uuritav tunnus $Y$ allub mingisugusele jaotusele, mis kuulub eksponentjaotuste perre (nt normaaljaotus, eksponentjaotus, Bernoulli jaotus, Poissoni jaotus). Sellise jaotuse keskväärtus $\mu$ sõltub sõltumatu tunnuse $X$ väärtustest.

$\mathbb {E} (Y|X)=\mu =g^{-1}(X\beta )$, kus:

• $\mathbb {E} (Y|X)$ on $Y$ keskväärtus $X$ korral;
• $g$ on seosefunktsioon;
• $X\beta$ on lineaarkombinatsioon tundmatutest parameetritest $\beta$.

GLM-i eesmärk on hinnata suurust $\mu$ ehk keskväärtust. Parameetri $\beta$ hindamiseks kasutatakse üldiselt suurima tõepära meetodit, kvaasitõepära või Bayesi meetodeid.

Mudeli komponendid

Üldistatud lineaarne mudel koosneb kolmest komponendist.

1. Juhuslik komponent (random component). Määrab uuritava tunnuse ($Y$) jaotuse, kui $Y$ sõltub $X$-st (tähistatakse kui $Y|X$). See jaotus kuulub eksponentsjaotuste perre. $Y|X$ jaotuse keskväärtus on $\mu _{i}$, mille hindamine ongi mudeli eesmärk.
2. Süsteemne komponent (systematic component). Määrab mudeli sõltumatute tunnuste $X$ hulga, kasutades selleks lineaarkombinatsiooni $\eta _{i}=x_{i}^{T}\beta =x_{1}\beta _{1}+...+x_{p}\beta _{p}$.
3. Seosefunktsioon (link function). Seosefunktsioon $g$ on funktsioon, mis seob juhusliku ja süsteemse komponendi, täpsemini $Y|X$ keskväärtuse $\mu _{i}$ ja $\eta _{i}$, moodustades seeläbi lineaarfunktsiooni: $g(\mu _{i})=\eta _{i}$.

Seosefunktsioon

Sõltuvalt uuritavate andmete olemusest, on valida mitme seosefunktsiooni vahel.

Tuntud teoreetilised jaotused ja neile vastavad kanoonilised seosefunktsioonid

Jaotus	Kasutusala	Seosefunktsiooni nimi	Seosefunktsioon
Normaaljaotus	Lineaarkasvule alluvad andmed.	Samasusteisendus	$X\beta =\mu$
Poisson	Kindlas aja- või ruumiühikus toimunud sündmuste arv.	log	$X\beta =ln(\mu )$
Bernoulli	Üksiku jah/ei sündmuse tulem.	logit	$X\beta =\ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)$
Binoom	"Jah" sündmuste arv kõikides toimunud jah/ei sündmustes.	logit	$X\beta =\ln \left({\frac {\mu }{n-\mu }}\right)$

Vaata ka

• Üldistatud aditiivne mudel
• Regressioonanalüüs