Graafi invariant

Graafi invariant on graafi struktuuri iseloomustava atribuudi arvuline väärtus või niisuguste väärtuste korrastatud kogum, mis ei sõltu graafi tippude märgistatusest ega selle graafilisest kujutisest. Mängib olulist osa graafide isomorfismi tuvastamisel.

Graafi fundamentaalne invariant on tema struktuur kui diskreetse objekti elementide kooslus (organiseeritus) selle elementide seostatuskorra näol. Struktuur kui niisugune ise on esitatav graafina G, kus isomorfsed graafid omavad ühesugust struktuuri. Struktuuri peamisteks karakteristikuteks on selle sümmeetria omadused, mis avalduvad ühesuguste elementide (st tippude, tipupaaride) näol mida rühmateooria aspektist orbiitideks (sh transitiivsuspiirkondadeks, ekvivalentsusklassideks, positsioonideks jm) nimetatakse.

Tipupaarid on eristatavad graafi seosmaatriksi astendamise teel. Korrutada algne seosmaatriks iseendaga, kus ning kusjuures iga astme korral fikseerida erinevate binaarmärkide arv maatriksis , mis reeglina suureneb. Tipupaariorbiitide basil korrastatud korrutis on isomorfsete graafide täielik invariant [1].

Graafi invariandid jagunevad globaalseteks (graafi tervikut iseloomustavateks) ja lokaalseteks (näiteks, üksikuid tippe ja tipupaare iseloomustavateks).

Invariantide lihtsamaid näiteidRedigeeri

  • Tippude arv   või servade arv   või mõlemad koos.
  • Graafi diameeter   on lühima tee pikkus (kaugus) kahe omavahel kõige kaugema tipu vahel.
  • Sidusate komponentide arv  .
  • Tippude minimaalne arv mille eemaldamine on tarvilik mittesidusa graafi saamiseks.
  • Servade minimaalne arv mille eemaldamine on tarvilik mittesidusa graafi saamiseks.
  • Seosmaatriksi determinant.
  • Seosmaatriksi karakteristlik polünoom.
  • Graafi orbiidid.
  • Hadwigeri arv  .
  • Kromaatiline arv  .
  • Wieneri indeks — suurus  , kus   on tippudevaheline väikseim kaugus   и  .
  • Randichi indeks — suurus  .
  • Graafi spekter, mis saadakse seosmaatriksi alusel.

Invariantide arendusiRedigeeri

Invariandina võib käsitleda mitte vaid üht konkreetset arvu vaid ka nende korteeži kujul  , nagu selleks on:

  • Tippude valentsuste (astakute) vektor  .
  • Polünoom  ;
  •  , kus   on tippude arv valentsusega i.

Kahest või rohkemast parameetrist sõltuvaid invariantide süsteeme võib esitada formaalsete muutujate polünoomidena  , nagu:

  •  , kus   on graafi   alamgraafide arv, mis omavad   tippu ja   serva;
  •  , kus   on i tipuliste alamgraafide hulk, kus nõelte (st alamgraafi tippe graafi teiste tippudega siduvate servade) arv võrdub  .

Selliseid invariante on arendatud hulgi, nende kokkulangemine on tarvilik kuid paraku mitte piisav tingimus isomorfismi olemasoluks.

Täielik invariantRedigeeri

Invariant on täielik kui nende kokkulangevus on tarvilik ja piisav isomorfismi tuvastamiseks. Näiteks, igaüks väärtustest   ja   osutub fikseeritud tippude arvuga   graafi täielikuks invariandiks.

Täielike invariantidena töötavad järgmised moodustised:

Algoritmilisest keerukusestRedigeeri

Invariante eristatakse nende algoritmilise keerukuse alusel. Invariandid  ,  ,   ja   saadakse triviaalselt, samal ajal kui niisuguste invariantide nagu  ,  ,  ,  ,  ,   puhul see nii ei ole.

Käesoleva aja ametlikust, XX sajandist pärit seisukohast, polünomiaalset täielikku invarianti ei tunnustata, kuigi pole tõestatud et neid ei esine. Samal ajal on näidatud, et semiootilise mudeli algoritmiline keerukus saab sõltuda vaid tippude arvust.

Vaata kaRedigeeri

Graafi kanooniline esitus

Graafide identifitseerimine

ViitedRedigeeri

  1. John-Tagore Tevet. (2014). Semiotic modeling of the structure. ISBN 9871503367456. Amazon Books
  2. John-Tagore Tevet. (2017) Graafide identifitseerimine. S.E.R.R., Tallinn, ISBN 9789949816514

KirjandustRedigeeri

  • Harary, F. 1972 Graph Theory. Addison-Wesley ISBN 0201027879.
  • Зыков, А. А. 1987 Основы теории графов. Наука, Москва.
  • Dharwadker, A., Pirzada, B. 2011. Graph Theory, Amazon Books, 2011. ISBN 9781466254998