Graafi orbiit on selle tippude ja/või tipupaaride ekvivalentsusklass, mis on seotud graafi sümmeetria probleemiga.

Graafi, millel on üks tipuorbiit nimetatakse tippudest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Graafi, millel on üks servaorbiit nimetatakse servadest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Täisgraafil, Peterseni graafil, Heawoodi graafil ja paljudel teistel on üks tipu- ja üks servaorbiit ning neid nimetatakse tugevalt sümmeetrilisteks. Need on erandid, reeglina on graafidel mitu orbiiti. Mida suuremad on orbiidid ja mida vähem neid on seda sümmeetrilisem on graaf. Tipuorbiitide maksimaalarv võrdub tippude arvuga, siis on tegemist nö 0-sümmeetriaga.

SelgitusRedigeeri

Orbiit on siin rühmateooria mõiste. Alamrühma   nimetatakse elemendi orbiidiks. Rühm   määrab hulgas   ekvivalentsusklassi   ehk orbiidi. Kui ekvivalentsusklasside arv on  , siis  , kus   on paariti mitteekvivalentsed.

Graafi automorfismide rühmRedigeeri

Graafi tippude ja tipupaaride jaotamine orbiitideks on oluline ülesanne. Graafide puhul on selle rühma AutG elementideks graafi automorfismid ja orbiitideks automorfismide transitiivsuspiirkonnad. Sisuliselt kujutab graafi automorfism endast graafi struktuuri säilitavat tippude (või tipupaaride) ümbernummerdamist.

Orbiidi struktuurne käsitlusRedigeeri

Tuleb rõhutada, et graaf on paljuaspektiline moodustis. Graafi struktuur ja selle orbiidid on esitatavad struktuurimudeli kujul. Graafi ühte orbiiti ehk ekvivalentsusklassi kuuluvad elemendid (st tipud ja/või tipupaarid) omavad ühesugust positsiooni graafi struktuuris. Täpsemalt: 1) tippude ühesugune positsioon avaldub tipu elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 2) naabertippude ühesugune positsioon avaldub nendevahelise serva elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 3) mittenaabertippude ühesugune positsioon avaldub nende vahele serva asetamisel saadud ülemgraafide isomorfismis. Graafi orbiitidel on oluline roll graafi struktuuri tuvastamisel ja graafide süsteemi moodustamisel.

Siin tuleb rõhutada asjaolu, et orbiidid on tuvastatavad erinevaid teid pidi: 1) rühmateoreetilisel teel; 2) tipupaaride süvaidentifitseerimise teel; 3) graafi esitava seosmaatriksi astendamise teel.

Orbiitide (positsioonide) põhiaktsioomidRedigeeri

1. Kui graafi   tipud     kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)   siis on alamgraafid           isomorfsed.

2. Kui graafi   servad     kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)   siis on alamgraafid           isomorfsed.

3. Kui graafi   mitteservad     kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)   siis on ülemgraafid           isomorfsed.


KirjandustRedigeeri

  • F. Harary. 1972. Graph Theory. Addison-Wesley, ISBN 0201027879.
  • J.-T. Tevet. 2010. Graafide varjatud külgi. S.E.R.R., ISBN 9789949213108.
  • J.-T. Tevet. 2017. What is a graph and how to study it. S.E.R.R., ISBN 9879949817559.

Vaata kaRedigeeri