Üldtopoloogia

Üldtopoloogia ehk hulgateoreetiline topoloogia on topoloogia haru, milles uuritakse pidevuse (pidev kujutus) ja piirväärtuse mõistet kõige üldisemas mõttes.

Uurimisvaldkond

Traditsiooniline lähenemine üldtopoloogiale on hulgateoreetiline. Hulka nimetatakse topoloogiliseks ruumiks, kui on antud tema lahtiste hulkade pere, mis rahuldab aksioome.

Topoloogilise ruumi struktuur on ühel hulgal võimalik anda mitmel moel: diskreetsest ruumist kuni mitte-Hausdorffi "triviaalse (antidiskreetse) topoloogiani", mis kleebib kõik punktid kokku.

Hulgateooria alusmõisted (hulk, funktsioon, ordinaal- ja kardinaalarvud, valikuaksioom, Zorni lemma jt) ei ole üldtopoloogia aine, kuid üldtopoloogia kasutab neid aktiivselt.

Üldtopoloogia aine moodustavad:

• topoloogiliste ruumide ja nende kujutuste omadused
• tehted topoloogiliste ruumide ja nende kujutustega
• topoloogiliste ruumide klassifikatsioon

Erinevalt diferentsiaal- ja algebralisest topoloogiast keskendub üldtopoloogia kõige üldisema kujuga pidevate kujutuste (topoloogiliste ruumide omavaheliste kujutuste, mitte keerukamate (algebraliste jne) struktuuridega ruumidele suunatud kujutuste) uurimisele.

Üldtopoloogia mõistete hulgas on ümbrus, hulga sulund, hulga sisemus, kompaktne ruum, jada piirväärtus (koonduv jada, koonduv filter).

Üldtopoloogiasse kuulub mõõtmeteooria.

Ajalugu

Üldtopoloogia sündis 19. sajandi lõpus ja kujunes iseseisvaks matemaatiliseks teaduseks 20. sajandi alguses.

Alustrajavad tööd kuuluvad Felix Hausdorffile, Henri Poincaréle, Pavel Aleksandrovile, Pavel Urõssonile, Luitzen Egbertus Jan Brouwerile.

Muu hulgas lahendati üks üldtopoloogia peamisi ülesandeid – topoloogilise ruumi metriseeritavuse tarvilike ja piisavate tingimuste leidmine.

Kõige tormilisemalt arenes üldtopoloogia kui iseseisev uurimisvaldkond 19. sajandi keskpaigas, 21. sajandi alguses on ta aga pigem abidistsipliin, mis oma mõisteaparaadiga teenindab paljusid matemaatika harusid: topoloogiat, funktsionaalanalüüsi, kompleksmuutuja funktsiooniteooriat, graafiteooriat jne.

Üldistus

Üldtopoloogias defineeritav funktsiooni piirväärtuse mõiste on üldistatav pseudotopoloogiliste ruumide teooria raames.

Kirjandus

• П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию – М: Наука, 1977
• Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях – М: Наука, 1974
• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры – М Наука, 1968
• Келли Дж. Л. Общая топология – М: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология – М: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (vene ja inglise keeles)