Lagrange'i keskväärtusteoreem

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon on pidev lõigus ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus , siis leidub nii, et .

Tõlgendusi muuda

Geomeetriline tõlgendus muuda

 

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon   on pidev mingis lõigus   ning diferentseeruv vahemikus  , siis leidub   ja   vahel niisugune arv  , et funktsiooni   graafiku puutuja kohal   on paralleelne punkte   ning   läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus muuda

Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune  , et funktsiooni   väärtuse muutumise kiiruseks punktis   on teatavas mõttes funktsiooni   väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus  . Olgu näiteks funktsiooniks   auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon   on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus muuda

Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus   uue funktsiooni  . Paneme tähele, et siis   ning funktsioon   on lõigus   pidev ja omab vahemikus   lõplikku tuletist, kusjuures iga   korral  . Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega   nii, et   ehk  , m. o. t. t.