Kasutaja:Sanderko/Fourier' teisendus

Fourier' teisendus seab füüsikalisest suurusest $x$ sõltuvale lähtefunktsioonile $f(x)$ vastavusse uue funktsiooni $F(s),$ kusjuures muutuja $s$ on esialgse muutuja $x$ kaasmuutuja, mis tähendab, et $x$ ja $s$ dimensioonide korrutis on 1. Fourier' teisendus on nimetatud prantsuse matemaatiku ja füüsiku Joseph Fourier' järgi ja sellel on mitmeid praktilisi väljundeid eelkõige füüsikas, aga ka teistes täppisteadustes.

Sissejuhatus

Fourier' rida on defineeritud etteantud lõpliku pikkusega lõigul $-L\leq x\leq L$ ja selle abil saab lähtefunktsioonile lähendfunktsiooni perioodiga $2L.$ Selline perioodilisus seab vaikimisi eelduse, et ka lähtefunktsioon on perioodiline. Fourier' rea üldisem juhtum, kus funktsiooni perioodil $2L$ lubatakse läheneda lõpmatusele, on tuntud kui Fourier' teisendus.
Vaadeldes eksponendi astendajat $\pm 2\pi xs,$ saame kitsenduse muutujate $x$ ja $s$ dimensioonide kohta. Matemaatikast on teada, et eksponendi astendaja peab olema skalaarne, dimensioonita suurus. Seega peab kehtima $[x]\cdot [s]=1$, mille kohta öeldakse ka, et muutuja $x$ on $s$ kaasmuutuja.
Fourier' teisendust kasutatakse füüsikas sageli aegridade analüüsis ja signaalitöötluses, et ajas muutuvat funktsiooni esitada erinevate sagedustega perioodiliste siinus- ja koosinusfunktsioonide superpositsioonina.

Definitsioon

Funktsiooni $f(x)$ Fourier' teisendus on defineeritud järgmiselt:

$F(s)={\mathcal {F}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi xs}\,dx.$

Selleks, et saada teisendatud funktsioonist $F(s)$ tagasi esialgset funktsiooni, tuleb kasutada Fourier' pöördteisendust:

$f(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{F(s)\}=\int _{-\infty }^{\infty }F(s)e^{i2\pi xs}\,ds.$

Teisenduse ja pöördteisenduse erinevus on märk imaginaarühiku $i$ ees. Võib kohata ka sõnastust, kus öeldakse, et $F(s)$ on funktsiooni $f(x)$ miinus-$i$ teisendus ja $f(x)$ on funktsiooni $F(s)$ pluss-$i$ teisendus. Mõned autorid kasutavad teistsugust definitsiooni, kus $2\pi$ on toodud integraali märgi ette:

$F(s)={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ixs}\,dx$

või

$F(s)={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ixs}\,dx.$

Sellisel kujul defineeritud teisendusele vastavad pöördteisendused:

$F(s)={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixs}\,dx$

ja

$F(s)={\mathcal {F}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixs}\,dx.$

Piirangud

Selleks, et funktsioonil $f(x)$ oleks olemas Fourier' teisendus, peab funktsioon $f(x)$ vastama järgmistele piirangutele:

• Lõigul $(-\infty ,\infty )$ peab leiduma lõplik integraal $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty$ .
• Funktsiooni $f(x)$ katkevused peavad olema lõplikud.

Omadused

Fourier' integraalteoreem

Kasutades eelpool antud definitsioone korraga, saab võrrandi, mida kutsutakse Fourier' integraalteoreemiks.

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi xs}\,dx]e^{i2\pi xs}\,ds$

Üldised omadused

Siikohal eeldame, et funktsioonide $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ kohta kehtivad ülalpool mainitud piirangud ja neile on olemas vastavad Fourier' teisendused $F(s)$, $G(s)$ ja $H(s).$ Sellisel juhul kehtivad järgmised omadused:

Lineaarsus

Iga kompleksarvu a ja b korral, kui $h(x)=af(x)+bg(x),$ siis:

$H(s)=aF(s)+bG(s).$

Rööplüke

Iga reaalarvu x₀ korral, kui $h(x)=f(x-x_{0}),$ siis:

$H(s)=e^{-2\pi ix_{0}s}F(s).$

Modulatsioon

Iga reaalarvu s₀ korral, kui $h(x)=e^{2\pi ixs_{0}}f(x),$ siis:

$H(s)=F(s-s_{0}).$

Arvuga korrutamine

Iga nullist erineva reaalarvu a korral, kui $h(x)=f(ax),$ siis:

$H(s)={\frac {1}{|a|}}F\left({\frac {S}{a}}\right)$

Paarsusest tulenevad omadused

Funktsiooni paarsus on Fourier' teisenduse suhtes invariantne, mis tähendab, et kui lähtefunktsioon $f(x)$ on paarisfunktsioon, siis ka Fourier' teisenduse abil saadud funktsioon $F(s)$ on paarisfunktsioon ja kui lähtefunktsioon on paaritu funktsioon, siis kas Fourier' teisenduse abil saadud funktsioon on paaritu funktsioon.

• Olgu lähtefunktsioon paarisfunktsioon $f(x)=E(x)$ (even - paaris ingliskeeles), siis:

$F(x)=2\int _{0}^{\infty }E(x)\cos(2\pi xs)\,dx.$

• Olgu lähtefunktsioon paaritu funktsioon $f(x)=O(x)$ (odd - paaritu ingliskeeles), siis:

$F(x)=2i\int _{0}^{\infty }O(x)\sin(2\pi xs)\,dx.$

Kuna mistahes funktsiooni saab kirjutada kui paaris- ja paaritu funktsiooni summana $f(x)=E(x)+O(x)$, siis Fourier' teisendus avaldub ka järgnevalt:

$F(x)=2\int _{0}^{\infty }E(x)\cos(2\pi xs)\,dx-2i\int _{0}^{\infty }O(x)\sin(2\pi xs)\,dx.$

Konvolutsiooni teoreem ehk sidumi teoreem

Konvolutsiooni teoreem seab vastavusse funktsioonid ja nende Fourier' teisendused. Olgu konvolutsioon kahe funktsiooni vahel defineeritud järgnevalt :

$h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x')\,g(x-x')\,dx',$

siis konvolutsiooni teoreemi kohaselt vastab funktsioonide konvolutsioonile nende funktsioonide Fourier' teisenduste korrutamine ehk siis :

$(f*g)(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{F(s)\cdot G(S)\}.$

Perioodilisus

Fourier' teisendus on perioodiline teisenduse operaatori ${\mathcal {F}}$ neljakordsel rakendamisel, ehk siis ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$

Kasutusvaldkonnad

Optika

Optikas kasutatakse Fourier' teisendust selleks, et saada ajas muutuva funktsiooni sagedusspektrit. Seeläbi seob Fourier' teisendus omavahel sageduse ja aja. Määramatuse relatsioonide abil on võimalik näidata, et sagedusspektri laius ja koherentsi aeg on omavahel seotud järgiselt $\Delta \nu \tau \geq 1.$

Viited

<References>