Kasutaja:Kornas9/Poissoni protsess

Poissoni protsess (ingl Poisson process) on jada diskreetsetest sündmustest, kus keskmine aeg sündmuste vahel on teada, aga täpne sündmuste toimumisaeg on teadmata. Poissoni protsess vastab järgnevatele kriteeriumitele:

  1. Sündmused on teineteisest mittesõltuvad. Ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.
  2. Kaks sündmust ei saa toimuda üheaegselt.
  3. Sündmuste toimumine ajavahemike kohta on konstantne. [1]

Homogeenne Poissoni protsess

muuda

Loendav protsess

Loendav protsess on juhuslik protsess  , kui   tähistab ajavahemikus   toimunud sündmuste koguarvu. [2]

Poissoni protsessi definitsioon

Loendavat protsessi   nimetatakse Poissioni protsessiks, kui

  1. ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
  2. protsessi juurdekasvud on sõltumatud(st. iga   korral   ja   on sõltumatud juhuslikud suurused),
  3. sündmuste arv mistahes lõigul pikkusega   on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega   [2]

Kuna teame, et Poissoni jaotuse puhul keskväärtus  , siis näeme, et 3. seose järgi Poissoni protsessis on  .   nimetatakse Poissoni protsessi intensiivsuseks. [2]

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

 [2], kus

  •   on sündmuste toimumiste arv ajavahemikus  

Tõenäosus, millal toimub järgmine sündmus

 [1]

Näide Poissoni protsessidest

  •   on näiteks poes tehtud ostude arv ajahetkeks  .

Mittehomogeenne Poissoni protsess

muuda

Mittehomogeenses Poissoni protsessis sõltub intensiivsus   ajast  .[2]

Defineerimiseks kasutame sümbolit  , mis tähistab kõrgemat järku lõpmata väikest suurust võrreldes suurusega   vaadeldavas protsessis.[2]

Mittehomogeenne Poissoni protsess

Loendavat protsessi   nimetatakse homogeenseks Poissoni protsessiks, kui

  1. ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
  2. juurdekasvud on sõltumatud,
  3.   korral
  4.   korral[2]

Keskväärtusfunktsioon

Mittehomogeenses Poissoni protsessis nimetatakse keskväärtusfunktsiooniks funktsiooni  .

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

Nüüd on tähtis suurus  . Näitame, et sündmuste arv lõigul   on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega  :

 [2]

Näide mittehomogeensest Poissoni protsessist

  •  on külastajate arv poes, kuid teame, et hommiku poole on külastajate intensiivsus suurem kui õhtul.

Poissoni protsessi omadusi

muuda

Osaprotsessid

Vaatleme Poissoni protsessi   intensiivsusega  . Olgu selles protsessis kahte tüüpi sündmusi, näiteks poes müüakse kahte teenust: I tüüpi tõenäosusega   ja II tüüpi tõenäosusega  .

Olgu I ja II tüüpi sündmuste arv vastavalt   ja  . Kogu protsessi sündmuste arvu leidmiseks võime:  .[2]

Kompositsioon

Poissoni protsessis kehtib, kui on kaks sõltumatut Poissoni jaotusega juhusliku suurust, siis nende summa on samuti Poissoni jaotusega, kusjuures parameetrid liituvad.[2]

Järjelikult kui   ja   on intensiivsustega   ja  , siis   korral  .

Poissoni liitprotsess

muuda

Poissoni liitprotsess

Juhuslik protsess  , mis avaldub kujul

 ,

nimetatakse Poissoni liitprotsessiks, kus

  •   on Poissoni protsess,
  •   on sõltumatud sama jaotusega juhuslikud suurused.[2]

Näide Poissoni liitprotsessist

  • Saabugu bussi inimesed Poissoni protsessi kohaselt ja olgu   inimesele määratud bussikoha number.

Keskväärtuse leidmine

 [2]

Dispersiooni leidmine

 [2]

Viited

muuda
  1. 1,0 1,1 Koehrsen, Will (21. jaanuar 2019). "The Poisson Distribution and Poisson Process Explained".
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 Käärik, M. (2019) Juhuslikud protsessid (MTMS.02.003), loengukonspekt.