Poissoni protsess (ingl Poisson process )jada diskreetsetest sündmustest , kus keskmine aeg sündmuste vahel on teada, aga täpne sündmuste toimumisaeg on teadmata. Poissoni protsess vastab järgnevatele kriteeriumitele :
Sündmused on teineteisest mittesõltuvad. Ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust .
Kaks sündmust ei saa toimuda üheaegselt.
Sündmuste toimumine ajavahemike kohta on konstantne . [ 1] Homogeenne Poissoni protsess
muuda
Loendav protsess
Loendav protsess on juhuslik protsess
{
N
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N(t),t\geqslant 0\}}
N
(
t
)
{\displaystyle N(t)}
ajavahemikus
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
[ 2]
Poissoni protsessi definitsioon
Loendavat protsessi
{
N
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N(t),t\geqslant 0\}}
ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
protsessi juurdekasvud on sõltumatud (st. iga
t
1
≤
t
2
≤
t
3
≤
t
4
{\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\leq t_{3}\leq t_{4}}
N
(
t
4
)
−
N
(
t
3
)
{\displaystyle N(t_{4})-N(t_{3})}
N
(
t
2
)
−
N
(
t
1
)
{\displaystyle N(t_{2})-N(t_{1})}
juhuslikud suurused ),
sündmuste arv mistahes lõigul pikkusega
t
{\displaystyle t}
λ
t
{\displaystyle \lambda t}
[ 2] Kuna teame, et Poissoni jaotuse puhul keskväärtus
E
X
=
λ
{\displaystyle EX=\lambda }
E
X
=
λ
t
{\displaystyle EX=\lambda t}
λ
{\displaystyle \lambda }
intensiivsuseks. [ 2]
Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus
P
{
N
(
t
+
s
)
−
N
(
s
)
=
n
}
=
(
λ
t
)
n
e
−
λ
t
,
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\textstyle {\textbf {P}}\{N(t+s)-N(s)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{e^{-\lambda t}}},n=0,1,2,...}
[ 2]
n
{\displaystyle n}
[
s
,
t
]
{\displaystyle [s,t]}
Tõenäosus, millal toimub järgmine sündmus
P
(
T
>
t
)
=
e
−
λ
t
→
P
(
T
≤
t
)
=
1
−
e
−
λ
t
{\displaystyle {\textbf {P}}(T>t)=e^{-\lambda t}\rightarrow {\textbf {P}}(T\leq t)=1-e^{-\lambda t}}
[ 1]
Näide Poissoni protsessidest
N
(
t
)
{\displaystyle N(t)}
t
{\displaystyle t}
Mittehomogeenne Poissoni protsess
muuda
Mittehomogeenses Poissoni protsessis sõltub intensiivsus
λ
{\displaystyle \lambda }
t
{\displaystyle t}
[ 2]
Defineerimiseks kasutame sümbolit
o
(
t
)
{\displaystyle o(t)}
kõrgemat järku lõpmata väikest suurust võrreldes suurusega
t
{\displaystyle t}
[ 2]
Mittehomogeenne Poissoni protsess
Loendavat protsessi
{
N
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N(t),t\geqslant 0\}}
ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
juurdekasvud on sõltumatud,
P
{
N
(
t
+
h
)
−
N
(
t
)
=
1
}
=
λ
(
t
)
h
+
o
(
h
)
,
h
→
0
,
∀
t
{\displaystyle {\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h),h\rightarrow 0,\forall t}
P
{
N
(
t
+
h
)
−
N
(
t
)
⩾
2
}
=
o
(
h
)
,
h
→
0
,
∀
t
{\displaystyle {\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)\geqslant 2\}=o(h),h\rightarrow 0,\forall t}
[ 2] Keskväärtusfunktsioon
Mittehomogeenses Poissoni protsessis nimetatakse keskväärtusfunktsiooniks funktsiooni
m
(
t
)
{\displaystyle m(t)}
Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus
Nüüd on tähtis suurus
m
(
t
)
=
∫
0
t
λ
(
s
)
d
s
{\displaystyle m(t)=\int \limits _{0}^{t}\lambda (s)ds}
[
t
,
t
+
s
)
{\displaystyle [t,t+s)}
m
(
t
+
s
)
−
m
(
t
)
{\displaystyle m(t+s)-m(t)}
P
{
N
(
t
+
s
)
−
N
(
t
)
=
n
}
=
(
m
(
t
+
s
)
−
m
(
t
)
)
n
n
!
e
−
[
m
(
t
+
s
)
−
m
(
t
)
]
,
n
⩾
0
{\displaystyle {\textbf {P}}\{N(t+s)-N(t)=n\}={\frac {(m(t+s)-m(t))^{n}}{n!}}e^{-[m(t+s)-m(t)]},n\geqslant 0}
[ 2]
Näide mittehomogeensest Poissoni protsessist
N
(
t
)
{\displaystyle N(t)}
Poissoni protsessi omadusi
muuda
Osaprotsessid
Vaatleme Poissoni protsessi
{
N
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N(t),t\geqslant 0\}}
λ
{\displaystyle \lambda }
p
{\displaystyle p}
(
1
−
p
)
{\displaystyle (1-p)}
Olgu I ja II tüüpi sündmuste arv vastavalt
{
N
1
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N_{1}(t),t\geqslant 0\}}
{
N
2
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N_{2}(t),t\geqslant 0\}}
N
(
t
)
=
N
1
(
t
)
+
N
2
(
t
)
{\displaystyle N(t)=N_{1}(t)+N_{2}(t)}
[ 2]
Kompositsioon
Poissoni protsessis kehtib, kui on kaks sõltumatut Poissoni jaotusega juhusliku suurust, siis nende summa on samuti Poissoni jaotusega, kusjuures parameetrid liituvad.[ 2]
Järjelikult kui
{
N
1
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N_{1}(t),t\geqslant 0\}}
{
N
2
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N_{2}(t),t\geqslant 0\}}
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
{
N
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{N(t),t\geqslant 0\}}
λ
=
λ
1
+
λ
2
{\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}}
Poissoni liitprotsess
muuda
Poissoni liitprotsess
Juhuslik protsess
{
X
(
t
)
,
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{X(t),t\geqslant 0\}}
X
(
t
)
=
∑
k
=
1
N
(
t
)
Y
k
,
t
>
0
{\displaystyle X(t)=\sum _{k=1}^{N(t)}Y_{k},t>0}
nimetatakse Poissoni liitprotsessiks, kus
N
(
t
)
{\displaystyle N(t)}
{
Y
k
,
k
⩾
0
}
{\displaystyle \{Y_{k},k\geqslant 0\}}
[ 2] Näide Poissoni liitprotsessist
Saabugu bussi inimesed Poissoni protsessi kohaselt ja olgu
Y
k
{\displaystyle Y_{k}}
Keskväärtuse leidmine
E
X
(
t
)
=
λ
t
E
Y
1
{\displaystyle EX(t)=\lambda tEY_{1}}
[ 2]
Dispersiooni leidmine
D
X
(
t
)
=
E
X
2
(
t
)
−
[
E
X
(
t
)
]
2
=
E
X
2
(
t
)
−
λ
2
t
2
(
E
Y
1
)
2
{\displaystyle DX(t)=EX^{2}(t)-[EX(t)]^{2}=EX^{2}(t)-\lambda ^{2}t^{2}(EY_{1})^{2}}
[ 2]
↑ 1,0 1,1 Koehrsen, Will (21. jaanuar 2019). "The Poisson Distribution and Poisson Process Explained" . ↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 Käärik, M. (2019) Juhuslikud protsessid (MTMS.02.003), loengukonspekt.
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
![{\displaystyle [s,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce44b6fb7683365e03abb06afa163f41c8f117c3)
![{\displaystyle {\textbf {P}}\{N(t+s)-N(t)=n\}={\frac {(m(t+s)-m(t))^{n}}{n!}}e^{-[m(t+s)-m(t)]},n\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557d2f2f58eaa08c9cf231c710ff79e2e390ca2a)
![{\displaystyle DX(t)=EX^{2}(t)-[EX(t)]^{2}=EX^{2}(t)-\lambda ^{2}t^{2}(EY_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c163f56aefab79e7fd906bd395aec02d0c2ec7)