Ava peamenüü

Injektiivne funktsioon

(Ümber suunatud leheküljelt Injektiivne kujutus)
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; geoloogia mõiste kohta vaata artiklit Injektsioon (geoloogia); teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Injektsioon (täpsustus)

Joonis illustreerib injektsiooni: hulga Y igal element on ülimalt üks originaal: elementidel A, B ja D on igaühel üks originaal, elemendil C ei ole ühtegi originaali.

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon, mille korral sihthulga iga elemendi puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga element , millele funktsioon teda vastavusse seab (), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivse funktsiooni kujutis võib olla sihthulga pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente , mis ei ole kujutised , (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis .

Funktsiooni injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga , mis on koostatud märkidest ja . See meenutab hulga sisestamist ülemhulka funktsiooni abil, mis kujutab hulga iga elemendi temaks endaks: .

Formaalsed definitsioonidRedigeeri

Olgu   ja   hulgad ning   funktsioon hulgast   hulka  .
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

  • Funktsiooni   nimetatakse injektiivseks, kui iga  -i korral hulgast   eksisteerib ülimalt üks   hulgast  , nii et  . ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
    Formaalselt:  
  • Funktsiooni   nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja   väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi   väärtuste võrdus.
    Formaalselt:  
  • Funktsiooni   nimetatakse injektiivseks, kui argumendi   erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
    Formaalselt:  

Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

Näiteid ja mittenäiteidRedigeeri

 
Mitteinjektiivne funktsioon
  • Iga funktsioon   kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
  • Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
  • Olgu   naturaalarvude hulk ja   täisarvude hulk.
Funktsioon   on injektiivne.
Funktsioon   on injektiivne.
Funktsioon   on injektiivne.
Funktsioon   ei ole injektiivne, sest näiteks  .

OmadusedRedigeeri

Injektiivsus sõltub ainult graafikustRedigeeri

Funktsiooni   injektiivsus sõltub ainult graafikust   (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast  , mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnusedRedigeeri

Funktsioon   on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade   korral  .

Funktsioon   on injektiivne parajasti siis, kui kõikide   korral  .

Kategooriateooriaga seotud omadusedRedigeeri

Kui funktsioonid   ja   on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon   on injektiivne.

Kui   on injektiivne, siis   on injektiivne.

Funktsioon  , mille lähtehulk   on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil   on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon   mille korral  , kus   on samasuskujutus hulgal  . Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.