Ava peamenüü

DefinitsioonRedigeeri

Olgu  ,   ja   mingid hulgad. Funktsioonide   ning   liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni  , et   iga   korral.

Funktsiooni   nimetatakse siin välimiseks, funktsiooni   sisemiseks funktsiooniks. Funktsioonide   ja   liitfunktsiooni tähistatakse sageli  . Mingite funktsioonide   ja   liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide   ja   järjest rakendamiseks.

Miks liitfunktsiooni argument ei ole (üldjuhul) funktsioonRedigeeri

Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus   on funktsioon suurusest  , siis omab mõtet avaldis  , mis tähistab suuruse   väärtus suuruse   mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon.

Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid eeskirja ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit Funktsioon (matemaatika)).

Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus   on funktsioon suurusest  ". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide suurus   on funktsioon hulgal   ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks   ja   oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks   võtta mingi keha asukoha ja suuruseks   kulunud aja), siis saaksime, et suurus   on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv.

Õige on väljendit "suurus   on funktsioon suurusest  " mõista nii: suuruse   saab esitada funktsioonina suurusest  , s. t. leidub mingi funktsioon  , nii et alati kehtib seos  . Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid   ja   nii, et   ja  . Suuruse   saab suuruse   kaudu avaldada siis liitfunktsiooni   abil:  . Siin aga on funktsiooni   argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon  .

Tähistused ja nimetused algebras ning matemaatilises analüüsisRedigeeri

Algebras ja matemaatilises analüüsis on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised.

Sõna liitfunktsioon kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna funktsioon asemel tavaliselt sõna kujutus), sõna kompositsioon kasutatakse nii algebras kui analüüsis.

Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste korrutiseks, kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste korrutamiseks ning kujutuste   ja   korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena   (samamoodi nagu nt. reaalarvuliste muutujate   ja   korrutist tähistatakse  ). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli tehtena mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena.

Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide   ja   korrutise all niisugust funktsiooni  , et   iga   jaoks funktsiooni   määramispiirkonnast. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna korrutis liitfunktsiooni kohta kasutada.

NäitedRedigeeri

  • Funktsiooni  ,   võime vaadelda liitfunktsioonina  , kus  ,   ning  ,  .
  • Funktsiooni   võime esitada kolme funktsiooni liitfunktsioonina:  , kus  ,   ning  . Õige on ka  ; võime ka üldse sulud ära jätta ning kirjutada  , sest funktsioonide järjest rakendamise assotsiatiivsuse tõttu võib avaldises   sulge suvaliselt ümber paigutada.
  • Funktsiooni   võib esitada samamoodi nelja funktsiooni liitfunktsioonina:  , kus  ,  ,   ning  .
  • Kui mingil kujutusel   leidub pöördkujutus  , siis   iga   jaoks ning   iga   jaoks. Seega kujutus   on samasusteisendus hulgal   ning   on samasusteisendus hulgal  .
  • Kui üks funktsioonidest   ja   on konstantne, siis ka nende funktsioonide liitfunktsioon   on konstantne.

Liitfunktsiooni tuletisRedigeeri

Kui   ja   on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil   on lõplik tuletis kohal   ja funktsioonil   on lõplik tuletis kohal  , siis funktsioonil   on lõplik tuletis kohal   ning  .

Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud  ,   ja  , siis   jne.

Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks kompleksmuutuja funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.