Funktsionaali variatsioon

Funktsionaali variatsioon ehk funktsionaali esimene variatsioon on ühe muutuja funktsiooni diferentsiaali üldistus, funktsionaali muudu lineaarne peaosa mingis kindlas suunas.

Seda mõistet kasutatakse ekstreemumülesannete teoorias ekstreemumi tarvilike ja piisavate tingimuste leidmiseks.

Selles tähenduses kasutatakse seda terminit alates Joseph-Louis Lagrange'i 1762. aasta tööst "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies". Lagrange vaatles peamiselt klassikalise variatsioonarvutuse funktsionaale (mõju funktsionaale) kujuga

$J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))\,dt.\qquad (*)$

Formaalne definitsioon

Vaatleme funktsionaali (*) muutust funktsiooniruumi ühest punktist teise (ühest funktsioonist teise). Selleks teeme asenduse $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ ning asetame selle avaldisse (*). Eeldusel, et $L$ on pidevalt diferentseeruv funktsioon, kehtib võrdus, mis on analoogne funktsiooni diferentsiaali juhtumiga:

$J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),$

kus jääkliige $|r(x,\;x_{1})|\to 0$ on funktsioonide vaheline kaugus ja $\varepsilon \to 0$, ja $\delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)$. Seejuures nimetatakse lineaarset funktsionaali $J_{1}(\delta x)$ funktsionaali $J(x)$ (esimeseks) variatsiooniks ning seda tähistatakse $\delta J$.