Lihtharmooniline võnkumine: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
1. rida:
[[Pilt:Simple_harmonic_motion_animation.gif|pisi|150px|Lihtne harmooniline võnkumine. Piki püsttelge on suunatud koordinaat ''x'']]
[[Pilt:Sine cosine one period.svg|pisi|350px|Siinusfunktsiooni (punane) ja koosinusfunktsiooni (sinine) graafikud: sin (''α'' + 90°) = cos ''α'']]
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]]▼
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k - ''simple harmonic oscillator''). Lihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]].▼
▲'''Lihtharmooniline võnkumine'''
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide lihtharmoonilise võnkumise kohta on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.▼
▲Lihtharmooniline
== Definitsioon ==▼
Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevalt:▼
Lihtharmooniline võnkumine toimub ajas [[sinusoid]]aalse seaduspära järgi, seega [[siinusfunktsioon |siinus-]] või [[koosinusfunktsioon]]i kohaselt. Niisuguse võnkeliikumise [[koordinaat]] <math>x</math> sõltub [[aeg|ajast]] <math>t</math> vastavalt valemile
Siin <math>A</math> on [[võnkeamplituud]], <math>\omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math>\varphi_0</math> võnkumise [[algfaas]]; <math>\omega</math> asemel kasutatakse sageli ka [[võnkesagedus]]t <math>f</math>, kusjuures <math>\omega=2\pi f</math>. Võnkumise [[võnkeperiood|periood]] on <math>T=1/f</math>.
Sinusoidaalse võnkumise funktsioonidega kirjeldatakse ka võnkumise levimisprotsessi ruumis, s.t [[laine]]id.
▲=== Definitsioon ===
▲Lihtharmooniline on
:<math> {F}\propto{-x}, </math>
kus <math>F</math> on taastav jõud
:<math>m \ddot{x} \propto -x \Rightarrow \ddot{x} \propto -x</math>,
ehk definitsiooni võib kirja panna ka
=== Dünaamika ===
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist
:<math> m\ddot x = -kx </math>
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on siire tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math> ja kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame:
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math>
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
37. rida ⟶ 47. rida:
: <math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, \qquad \tan \varphi = \frac{c_2}{c_1}. </math>
Kõikidel antud
Kasutades matemaatilist analüüsi, võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikkuse:
43. rida ⟶ 53. rida:
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math>
▲: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math>
▲Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb liikumisel läbi tasakaaluasendi)
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>
Maksimaalne kiirendus
Definitsiooni järgi on
: <math> a(x) = -\omega^2 x
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math>
ja et [[periood]] <math>T=\frac 1{f},</math> siis
▲: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math>
Antud
=== Energia ===
Asendades ''ω''<sup>2</sup> suurusega ''k/m'', avaldub süsteemi [[kineetiline energia]] ''K''
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math>
83. rida ⟶ 86. rida:
: <math>E = K + U = \tfrac12 k A^2.</math>
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|pisi|150px|Vedru ja massi süsteemi võnkumine]]
== Näited ==
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.▼
=== Mass vedru otsas ===
Mass ''m'' mis on kinnitatud vedru külge jäikusega ''k'' liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus on lihtharmooniline võnkumine. Antud süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga▼
▲Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
▲
: <math> T= 2 \pi\sqrt\frac{m}{k},</math>
mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.
▲[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|
=== Ühtlane pöörlemine ===
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus
:<math> x = r\cos (\omega t).</math>
108. rida ⟶ 115. rida:
:<math> \ddot{x} = -\omega^2 x</math>
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise
[[
=== Matemaatiline pendel ===
▲[[Fail:Simple_Pendulum_Oscillator.gif|paremal|Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumist kirjeldab lihtharmooniline võnkumine.|pisi|244x244px]]
Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math>
kus
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math>
mis teeb nurkkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli
:<math> T = 2 \pi \sqrt\frac{l}{g}</math>.
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest <math>g</math> ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega
== Vaata ka ==
* [[Harmooniline võnkumine]]
* [[Võnkumine]]
* [[Vabavõnkumine]]
* [[Matemaatiline pendel]]
▲*[[Matemaatiline pendel]]
[[Kategooria:Võnkumine]]▼
[[Kategooria:Mehaanika]]
[[Kategooria:Pendlid]]
▲[[Kategooria:Võnkumine]]
|