Erinevus lehekülje "Lihtharmooniline võnkumine" redaktsioonide vahel

resümee puudub
P
 
[[Pilt:Simple_harmonic_motion_animation.gif|pisi|150px|Lihtne harmooniline võnkumine. Piki püsttelge on suunatud koordinaat ''x'']]
{{liita|Lihtne harmooniline liikumine}}
[[Pilt:Sine cosine one period.svg|pisi|350px|Siinusfunktsiooni (punane) ja koosinusfunktsiooni (sinine) graafikud: sin (''α'' + 90°) = cos ''α'']]
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]]
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k - ''simple harmonic oscillator''). Lihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]].
 
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk([[inglise keel|inglise keeles]] '''lihtharmoonilinesimple liikumine'harmonic motion'') on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikuminevõnkumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakseon nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]] ja lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k - ''simple harmonic oscillator''). Lihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]].
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide lihtharmoonilise võnkumise kohta on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.
 
Lihtharmooniline liikuminevõnkumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljudemitmesuguste erinevatele liikumistevõnkumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumisevõnkumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikalinetuntud näide lihtharmoonilise võnkumise kohta on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.
== Definitsioon ==
 
Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevalt:
Lihtharmooniline võnkumine toimub ajas [[sinusoid]]aalse seaduspära järgi, seega [[siinusfunktsioon |siinus-]] või [[koosinusfunktsioon]]i kohaselt. Niisuguse võnkeliikumise [[koordinaat]] <math>x</math> sõltub [[aeg|ajast]] <math>t</math> vastavalt valemile
 
: <math> {x(t)=A\cos\,(\omega} t+\sqrt {A^2 - x^2} varphi_0)</math>.
 
Siin <math>A</math> on [[võnkeamplituud]], <math>\omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math>\varphi_0</math> võnkumise [[algfaas]]; <math>\omega</math> asemel kasutatakse sageli ka [[võnkesagedus]]t <math>f</math>, kusjuures <math>\omega=2\pi f</math>. Võnkumise [[võnkeperiood|periood]] on <math>T=1/f</math>.
 
Sinusoidaalse võnkumise funktsioonidega kirjeldatakse ka võnkumise levimisprotsessi ruumis, s.t [[laine]]id.
 
*[[== Matemaatiline pendel]]käsitlus ==
=== Definitsioon ===
Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline (<math>\propto</math>) siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevaltjärgmiselt:
 
:<math> {F}\propto{-x}, </math>
 
kus <math>F</math> on taastav jõud, ja <math>x</math> on siire tasakaaluasendist (miinusmärk on mõeldud rõhutamaks tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis <math>F = ma \Rightarrow F = m\ddot{x}</math>, seega võib definitsiooni ümber kirjutada kujul
 
:<math>m \ddot{x} \propto -x \Rightarrow \ddot{x} \propto -x</math>,
 
ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgnevaltjärgmiselt: ''lihtharmooniline on iga liikuminevõnkumine, milles siire ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.''
 
=== Dünaamika ===
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist liikumistmist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne [[diferentsiaalvõrrand]]. VõttesKui võtta aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes, siis on taastavaks jõuks vastavalt [[Hooke'i seadus]]ele ''Ftaastavaks =jõuks <math>F=-kx''</math> ehkja võrdelisuse saab kirjutada võrdusena
 
:<math> m\ddot x = -kx </math>
 
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on siire tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math> ja kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame:
 
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,;</math>
 
antudselle diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul
 
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math>
 
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chemmath>{c_2}</chemmath> määravad algtingimused, nagu algsiire <math>c_1 = x_1</math> ja algkiirus <math>c_2 = v_1/\omega</math>. Lahendit saab kirjutada ka kujul:
 
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
: <math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, \qquad \tan \varphi = \frac{c_2}{c_1}. </math>
 
Kõikidel antud konstantidelsuurustel on liikumisevõnkeliikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne siire tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[võnkumise algfaas]].
 
Kasutades matemaatilist analüüsi, võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikkuse:
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math>
 
Maksimaalne kiirus: ''<math> v=ωA''\omega A</math> (esineb liikumisel läbi tasakaaluasendi):
Kiirus:
 
: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math>
 
Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb liikumisel läbi tasakaaluasendi)
 
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>
 
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<supmath> A \omega^2</supmath> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist).
 
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisellihtharmoonilises liikumisesvõnkumises oleva massi ''<math>m''</math> kiirendus võrdeline tema siirdega.:
 
: <math> a(x) = -\omega^2 x.,</math>
 
:kus <math>f = \frac{1}{omega^2\pi}\sqrt{=\frac{k}{m}},</math>.
kus
 
:Kuna <math> \omega^2= 2\frac{k}{m}pi f</math>, siis
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math>
 
ja et [[periood]] <math>T=\frac 1{f},</math> siis
kuna ''ω'' = 2π''f'',
 
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>
 
ja kuna ''T'' = 1/''f'', kus ''T'' periood,
 
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math>
 
Antud võrranditesvõrranditest on näha, et lihtharmooniline liikuminevõnkumine on [[Isokroonsus|isokroonne]], s.t (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).
 
=== Energia ===
Asendades ''ω''<sup>2</sup> suurusega ''k/m'', avaldub süsteemi [[kineetiline energia]] ''K'' ajahetkelhetkel ''t'' vastavalt
 
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math>
 
: <math>E = K + U = \tfrac12 k A^2.</math>
 
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|pisi|150px|Vedru ja massi süsteemi võnkumine]]
 
== Näited ==
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|paremal|Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.|pisi|200x200px]]
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
 
=== Mass vedru otsas ===
 
Mass ''m'' mis on kinnitatud vedru külge jäikusega ''k'' liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus on lihtharmooniline võnkumine. Antud süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
MassKui vedru külge jäikusega ''mk'' mis on kinnitatud vedru külge jäikusegaMass ''km'', siis selle liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus, on lihtharmooniline võnkumine. AntudNiisuguse süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga
 
: <math> T= 2 \pi\sqrt\frac{m}{k},</math>
 
mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.
 
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px300px|Lihtharmooniline liikuminevõnkumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]]
 
=== Ühtlane pöörlemine ===
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus|nurkkiirenduseta]]eta pöörleva) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb ''xy''-tasandil nurkkiirusega ''ω'' pöörlemistsentrist kaugusel ''r'', siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist ''r'' ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ''ω''. Igal ajahetkel on punkti projektsioon ''x''-teljele leitav vastavalt:
 
:<math> x = r\cos (\omega t).</math>
:<math> \ddot{x} = -\omega^2 x</math>
 
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumisevõnkumise definitsioonile. Kiirendus ja siire on võrdelised.
 
[[FailPilt:Simple_Pendulum_Oscillator.gif|paremalpisi|150px|Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumist kirjeldab lihtharmooniline võnkumine.|pisi|244x244px]]
 
=== Matemaatiline pendel ===
 
[[Fail:Simple_Pendulum_Oscillator.gif|paremal|Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumist kirjeldab lihtharmooniline võnkumine.|pisi|244x244px]]
Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmooniliselihtharmoonilisle võnkumisegavõnkumisele. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab järgnev diferentsiaalvõrrand:
 
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math>
 
kus, ''m'' on pendli mass, <math>g</math> on [[raskuskiirendus]], ''l'' on pendli pikkus, <math>I</math>on [[inertsimoment]], ''<math>\theta</math>'' on pendli niidi nurk vertikaalist ja <math>\ddot{\theta}</math>on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedastenullilähedase väärtustegaväärtusega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos ''sin ''θ ''≈'' θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:
 
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math>
 
mis teeb nurkkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumisevõnkumise definitsiooni.
 
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli võnkeperioodivõnkeperiood annabon valem:arvutatav valemiga
 
:<math> T = 2 \pi \sqrt\frac{l}{g}</math>.
 
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest <math>g</math> ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlilpendli võnkeperiood on näiteks [[Kuu]]l pikem võnkeperiood kui [[Maa]]l, kunasest raskuskiirendus Kuul on Kuul väiksem. Kuna raskuskiirenduse <math>g</math> väärtus on Maa eri paigus erineberisugune, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.
 
== Vaata ka ==
* [[Harmooniline võnkumine]]
* [[Võnkumine]]
* [[Vabavõnkumine]]
* [[Matemaatiline pendel]]
*[[Isokroonsus]]
*[[Matemaatiline pendel]]
 
[[Kategooria:Võnkumine]]
[[Kategooria:Mehaanika]]
[[Kategooria:Pendlid]]
[[Kategooria:Võnkumine]]