Riemanni meetrika

Riemanni meetrika (inglise keeles Riemannian metric) on diferentsiaalgeomeetrias teatav sümmeetriline tensorväli.

Sümmeetrilisi (2,0)-tensorvälju (ehk bilineaarvormivälju) võib üksühese vastavuse põhjal käsitleda ka ruutvormiväljadena. Kui niisuguse välja ruutvorm on igas punktis positiivselt määratud, siis nimetatakse seda välja Riemanni meetrikaks (Bernhard Riemanni järgi).

Ajalugu

Riemann üldistas Carl Friedrich Gaussi antud pinna sisegeomeetria mõistet ja seadis 1854. aastal Göttingeni Ülikoolis professorite ees (üks neist oli Gauss) peetud geomeetria alushüpoteese käsitlevas ettekandes sellise sümmeetrilise tensorvälja n-mõõtmelise kõverruumi geomeetria (Riemanni geomeetria) aluseks. Trükis ilmusid selle loengu materjalid alles pärast tema surma 1868. aastal.

Määratlus

Mis tahes meetrilise tensoriga on seotud ruutvorm, mis on määratletud igas puutujaruumis järgmise avaldisega:

$q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.$

Kui $q_{m}$ on positiivne kõigi nullist erineva $X_{m}$ väärtuste puhul, siis on meetrika m-is positiivselt määratud. Kui meetrika on positiivselt määratud iga m ∈ M juures, siis g-d nimetatakse Riemanni meetrikaks. Üldistatud juhtudel, kui ruutvormid $q_{m}$ omavad püsivat signatuuri, mis ei sõltu m-st, siis g-d nimetatakse pseudo-Riemanni meetrikaks.

Riemanni meetrika erijuhud

Riemanni meetrika erijuhud on pinna esimene ruutvorm ja vektorite skalaarkorrutis eukleidilises ruumis E_n.

Vaata ka

• Pseudo-Riemanni meetrika