Riemanni meetrika

Riemanni meetrika (inglise keeles Riemannian metric) on diferentsiaalgeomeetrias teatav sümmeetriline tensorväli.[1]

Sümmeetrilisi (2,0)-tensorvälju (ehk bilineaarvormivälju) võib üksühese vastavuse põhjal käsitleda ka ruutvormiväljadena. Kui niisuguse välja ruutvorm on igas punktis positiivselt määratud, siis nimetatakse seda välja Riemanni meetrikaks (Bernhard Riemanni järgi).[2]

AjaluguRedigeeri

Riemann üldistas Carl Friedrich Gaussi antud pinna sisegeomeetria mõistet ja seadis 1854. aastal Göttingeni Ülikoolis professorite ees (üks neist oli Gauss) peetud geomeetria alushüpoteese käsitlevas ettekandes sellise sümmeetrilise tensorvälja n-mõõtmelise kõverruumi geomeetria (Riemanni geomeetria) aluseks.[2] Trükis ilmusid selle loengu materjalid alles pärast tema surma 1868. aastal.

MääratlusRedigeeri

Mis tahes meetrilise tensoriga on seotud ruutvorm, mis on määratletud igas puutujaruumis järgmise avaldisega:

 

Kui   on positiivne kõigi nullist erineva   väärtuste puhul, siis on meetrika m-is positiivselt määratud. Kui meetrika on positiivselt määratud iga mM juures, siis g-d nimetatakse Riemanni meetrikaks. Üldistatud juhtudel, kui ruutvormid   omavad püsivat signatuuri, mis ei sõltu m-st, siis g-d nimetatakse pseudo-Riemanni meetrikaks.

Riemanni meetrika erijuhudRedigeeri

Riemanni meetrika erijuhud on pinna esimene ruutvorm ja vektorite skalaarkorrutis eukleidilises ruumis En.[2]

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Ülo Lumiste. "Diferentsiaalgeomeetria". Tallinn: Valgus, 1987, lk 3
  2. 2,0 2,1 2,2 Ülo Lumiste. "Diferentsiaalgeomeetria". Tallinn: Valgus, 1987, lk 285