Mollweide projektsioon

Mollweide projektsioon on õigepindne (ekvivalentne) pseudosilindriline kaardiprojektsioon, mille arendas 1805. aastal välja saksa matemaatik ja astronoom Karl B. Mollweide (1774–1825). Projektsiooni tuntakse ka homolograafilise, Babinet’ (projektsiooni 1857. aastal täiendanud ja populariseerinud Prantsusmaa füüsiku Jacques Babinet’ järgi) ja elliptilise projektsiooni nime all.

Mollweide projektsioonis maailmakaart

Antud kaardiprojektsiooni iseloomustab pindalade õigsuse säilimine, mis toob kaasa moonutused nii nurkade, pikkuste kui ka kuju puhul. Sellest põhiomadusest tulenevalt on Mollweide projektsioon levinud näiteks teatud temaatiliste maailmakaartide koostamisel, kus õigepindsus on nähtuste korrektse esitamise eelduseks (näiteks erinevad tiheduskaardid).

Omadused

Mollweide projektsioonis maailmakaart koos moonutusi näitavate Tissot' indikatrissidega

Mollweide projektsiooni kasutatakse üldjuhul terve maailma või väga suurte maailma osade (näiteks Vaikne ookean) kujutamiseks, kuna ilma moonutusteta jäävad vaid kaks punkti. Need asuvad ainsana peamõõtkavas kujutatavate standardparalleelide – 44°44’12’’ nii põhja- kui lõunapoolkeral – ja telgmeridiaani lõikepunktides. Maailma esitatakse Mollweide projektsiooni puhul elliptilisel kujul ning põhja- ja lõunapoolus kujutatakse punktidena. Ellipsi pikemaks teljeks on horisontaalse sirgjoonena konstrueeritud ekvaator, mis on kaks korda pikem kui telgmeridiaan ehk lühem telg. 90. lääne- ja idapikkust kujutavad meridiaanid moodustavad ringjoone ning ülejäänud meridiaanid on elliptilised kaared, mis moodustavad poolustel kohtudes ellipseid. Meridiaanide vahed on võrdsed nii ekvaatoril kui ka teistel paralleelidel.

Paralleele kujutatakse küll paralleelsete sirgjoontena, kuid nende vahed ei ole kogu projektsiooni ulatuses võrdsed, mis tuleneb eelkõige projektsiooni õigepindsest olemusest ja ringjoont moodustavatest 90. meridiaanidest. Selle tulemusena on ekvaatorilähedased piirkonnad venitatud põhja-lõunasuunaliselt 23% rohkem välja kui ida-läänesuunaliselt. Ekvaatorist mööda telgmeridiaani kaugenedes moonutused vähenevad ja standardparalleelidel need puuduvad. Standardparalleelidest pooluste suunas liikudes hakkavad moonutused uuesti suurenema ja toimub paralleelide kokkusurumine. Moonutused on suurimad suurte laiuste välimistel meridiaanidel, kuid sellegipoolest on need väiksemad kui sinusoidse projektsiooni puhul.

Mööda ekvaatorit esinevate moonutuste kõrvaldamiseks pakkus Bromley (1965) välja Mollweide projektsiooni põhja-lõunasuunalise kokkusurumise ja ida-läänesuunalise väljavenitamise, et võimaldada ekvaatori kujutamist moondevabalt, kuid sellisel juhul oleks ekvaator 2,47 korda pikem kui telgmeridiaan. Kuju moonutusi on võimalik vähendada ka sinusoidsete või paralleelsete lõigete kasutamisega.

Mollweide projektsioon või selle omadused on olnud aluseks mitmetele teistele kaardiprojektsioonidele, näiteks Goode’i homolosiinsele projektsioonile, van der Grinteni projektsioonile ja Boggsi eumorfsele projektsioonile.

Matemaatiline formulatsioon

Koordinaadid x ja y kaardil arvutatakse geograafilistest laius- ja pikkuskraadidest järgmise valemi kaudu:

${\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta ,\\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}$

kus nurk θ on leitav kui

$2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad (1)$

ja λ on geograafiline pikkus, λ₀ nullmeridiaan, φ laius ning R on projitseeritava maakera raadius. Kaardi pindala on 4πR² ning sõltub projitseeritava maakera raadiusest. Koordinaat x jääb vahemikku [−2R√2, 2R√2] ja y vahemikku [−R√2, R√2].

Võrrand (1) on lahendatav järkjärguliste iteratsioonide kaudu Newtoni meetodiga:

${\begin{aligned}\theta _{0}&=\varphi ,\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _{n}}}.\end{aligned}}$

Kui $\varphi =\pm {\frac {\pi }{2}}$, siis ka $\theta =\pm {\frac {\pi }{2}}$. Sellisel juhul jääb iteratsioon vahele, et vältida nulliga jagamist.

Järgmise vastuülesande kaudu on võimalik x- ja y-koordinaatide kaudu leida geograafilised laiused ja pikkused:

${\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }}.\end{aligned}}$