Kasutaja:Puddy D/Lihtne juhuslik valik

Lihtne juhuslik valik (ingl simple random sampling) on selline valikuprotseduur, kus kõik $n$-mahulised valimid $N$-mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed. Eristatakse kaht erinevat lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul pannakse tagasi üldkogumisse.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuta

Olgu üldkogum $U=\{1,2,\dots ,N\}$. Kõigi $n$ mahuliste valimite arv, mida $U$-st saab moodustada, on $M=C_{N}^{n}$, kus $C_{N}^{n}$ on kombinatsioon $N$ elemendist $n$-kaupa. Olgu $S=\{s_{1},\dots ,s_{M}\}$ kõigi võimalike valimite hulk.

Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine:

           $\pi _{i}={\frac {n}{N}}\quad \forall i\in U$

ning teist järku kaasamistõenäosus on

           $\pi _{ij}={\frac {n(n-1)}{N(N-1)}}\quad \forall i,j\in U\quad i\neq j$

Valimi genereerimise võimalused

Definitsiooni järgi

Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga $n$ (selliseid võimalusi on $C_{N}^{n}$) ja siis juhuslikult valida nendest üks valim.

Tõmbeviis (elemendid on nummerdatud)

1. Esimene element $i=1$ valitakse tõenäosusega $1/N$ ja seejärel eemaldatakse üldkogumist;
2. Ülejäänud elemendid $i=2,...,n$ valitakse tõenäosusega ${\frac {1}{N-(i-1)}}$ ja iga kord eemaldatakse üldkogumist.

Loeteluviis (tulemuseks on vektorvalim)

Iga üldkogumi elementide jaoks $i=1,...,N$ seame vastavusse juhusliku arvu ühtlasest jaotusest $u_{i}\sim U(0,1)$.

1. Esimese elemendi $i=1$ puhul kui $u_{1}<n/N$, siis see element pannakse valimisse.
2. Ülejäänute elementide $i=2,...,N$ puhul vaadeldakse kas $u_{i}<{\frac {n-n_{i}}{N-i+1}}$, kui võrratus kehtib,siis see element pannakse valimisse. Võrratuses $n_{i}$ on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese $i-1$ objekti seast.

Järjestusvalik

1. Iga üldkogumi elementide jaoks $i=1,...,N$ seame vastavusse juhusliku arvu $u_{1},u_{2},...,u_{N}$, kus $u_{i}$ on ühtlasest jaotusest $u_{i}\sim U(0,1)$.
2. Järjestame üldkogumi objektid ümber $u_{i}$ järgi kasvavalt: $u_{(i_{1})}<u_{(i_{2})}<...<u_{(i_{N})}.$
3. Võtame valimisse esimesed $n$ objekti.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma $t=\sum _{U}y_{i}$ nihketa hinnang kujul

           ${\hat {t}}=N{\overline {y}},$ 

kus ${\overline {y}}=\sum _{s}y_{i}$ on valimi keskmine.

Kogusumma hinnangu dispersioon on

           $D({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{yU}^{2}/n$

ja dispersiooni hinnang on

           ${\hat {D}}({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{ys}^{2}/n,$

kusjuures $f={\frac {n}{N}}$ on valikusuhe,

           $S_{yU}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $S_{ys}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.

Keskmise hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine ${\overline {Y}}={\frac {Y}{N}}$ nihketa hinnang kujul

           ${\hat {\overline {Y}}}={\frac {1}{n}}\sum _{s}y_{i}={\overline {y}}.$

Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised:

           $D{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{yU}^{2}/n,$
           ${\hat {D}}{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{ys}^{2}/n$.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuga

Tagasipanekuga disainide korral võivad objektid sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator $I_{i}$ juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast $\{0,1,2,..,n\}$.

Valimi genereerimise võimalused

Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain.

Multinominaaldisain

1. Valikutõenäosused $p_{i}$ on fikseeritud iga $i$ jaoks, $i\in U$ kogu valikuprotsessis ning valikutõenäosuste kogusumma võrdub ühega: $\sum _{i=1}^{N}p_{i}=1$.
2. Objekt valitakse vastavalt valikutõenäosusele $p_{i}$, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse.
3. Protsess korratakse $n$ korda (kuni valim on käes).

Hüpergeomeetriline disain

Iga element saab olla valitud kuni $m_{i}$ korda. Valikuindikaatori $I_{i}$ kõikvõimalikud realisatsioonid on nullist $m_{i}$-ni, kus $m_{i}$ on valimimahust väiksem $m_{i}<n$.

Olgu $m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}$.

Tähistame valikuindikaatorit hüpergeomeetrilisest jaotusest $I\sim HG(n;m_{1},m_{2},...,m_{N})$, kus jaotuse tõenäosusfunktsioon avaldub kujul: $p(k)=P(I=k)={\frac {\prod _{i=1}^{N}C_{m_{i}}^{k_{i}}}{C_{m}^{n}}}$ , kui $|k|=n$.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale $t=\sum _{U}y_{i}$ avaldub järgmiselt:

           ${\hat {t}}=N{\overline {y}}.$

Hinnangu ${\hat {t}}$ dispersioon on järgmine:

           $V({\hat {t}})=(N(N-1))/nS_{y}^{2}$,

ja dispersiooni hinnang:

           ${\hat {V}}({\hat {t}})=N^{2}/(n(n-1))s_{y}^{2}$,

kus

           ${\overline {y}}=1/n\sum _{s}y_{i}$

on valimi keskmine,

           ${\overline {Y}}=1/N\sum _{U}y_{i}$

on üldkogumi keskmine,

           $S_{y}^{2}=1/(N-1)\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $s_{y}^{2}=1/(n-1)\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.