Fourier' rida: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
P pisitoimetamine |
Resümee puudub |
||
1. rida:
'''Fourier' rida''' (või ka '''Fourier' reaksarendus''') on viis esitada perioodilist signaali või perioodilist impulsside jada [[sinusoid]]ide summana. Summat saab esitada komplekssete astendajatega [[eksponentfunktsioon]]ide või trigonomeetriliste funktsioonide ([[siinus]]te ja [[koosinus]]te) kaudu.
'''Fourier' rida''' (või ka '''Fourier' reaksarendus''') on viis esitada perioodilist signaali või perioodilist impulsside jada [[sinusoid]]ide summana. Summat saab esitada komplekssete astendajatega [[eksponentfunktsioon]]ide või trigonomeetriliste funktsioonide ([[siinus]]te ja [[koosinus]]te) kaudu. Fourier' reaksarendus on saanud oma nime [[Joseph Fourier]]' (1768–1830) järgi, kes kasutas seda [[soojusjuhtivuse võrrand]]i lahendamiseks metallplaadis. Fourier' rida on lähedalt seotud [[Fourier' pööre|Fourier' teisendusega]], mis esitab funktsiooni sagedusruumis. Fourier' pööre muudab funktsiooni argumendiks sageduse <math> f(x) \rightarrow F(\omega)</math>. Sel juhul funktsiooni väärtus <math> F(\omega) </math> näitab vastava sageduse amplituudi esialgses funktsioonis <math> f(x) </math>. Fourier' rittaarenduses vastavad funktsiooni <math> F(\omega) </math> argumentidele, ehk sagedustele, summa erinevad liikmed ning funktsiooni <math> F(\omega) </math> väärtustele nende liikmete ees olevad kordajad.▼
Fourier' reaksarendus on saanud oma nime [[Joseph Fourier]]' (1768–1830) järgi, kes kasutas seda [[soojusjuhtivuse võrrand]]i lahendamiseks.
==Definitsioon==▼
▲
Fourier' rida on oma olemuselt signaali sageduskomponentideks lahutamine. Igal rea liikmel on oma kindel sagedus ning amplituud (ees olev kordaja), mis määrab ära, kui tugevalt see liige on esindatud algses signaalis. Üldiselt on Fourier' read lõpmata pikad, kuid paljudel juhtudel võib hea lähenduse saada, kui arvestada vaid esimest nelja-viite liiget.▼
▲==Definitsioon==
▲Fourier' rida on oma olemuselt signaali sageduskomponentideks
Fourier' rida saab esitada mitut moodi.
12. rida ⟶ 14. rida:
Olgu funktsioon <math>f(x) </math> perioodiline funktsioon või impulsside jada perioodiga <math> 2L </math>. Sellisel juhul on selle funktsiooni Fourier' ritta arenduseks lõigul <math>-L \le x \le L</math>:
::<math>F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, \left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right],</math>
kus kordajad <math> a_0, a_n </math> ja <math> b_n </math> avalduvad integraalidena:<ref name="Signals and Systems" />
27. rida ⟶ 29. rida:
===Polaaresitus===
Polaaresitus käib
▲Polaaresitus käib faasinihestatud koosinuse kaudu:<ref name="pyQ6u" />
:<math> F(x) = x_0 + \sum_{n=1}^\infty x_n\cos(n\omega x - \phi_n), </math>
43. rida ⟶ 44. rida:
Kasutades nurkade summa koosinuse valemit <math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math> saab näidata, et polaaresitus on võrdne trigonomeetrilise esitusega:
:<math> \begin{align}
F(x) &= x_0 + \sum_{n=1}^\infty x_n\cos(n\omega x - \phi_n)= f(x) \\
52. rida:
</math>
Tähistades siin
:<math> a_n=x_n \cos(\phi_n)\, </math>, \,\, <math> b_n=x_n \sin(\phi_n)\, </math>
jagades need võrrandid omavahel:
66. rida ⟶ 64. rida:
ning võttes need võrrandid ruutu ja liites omavahel:
:<math> a_n^2+b_n^2=x_n^2 \left[ \cos^2(\phi_n) + \sin^2(\phi_n) \right] </math>
:<math> a_n^2+b_n^2=x_n^2 \, </math>
81. rida ⟶ 79. rida:
<math> e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) </math>
Seega saab trigonomeetrilist rida, kasutades veel valemeid <math> \sin(x)=\frac{1}{2i} \left( e^{ix} - e^{-ix}\right) </math> ja <math> \cos (x)= \frac{1}{2} \left( e^{ix} + e^{-ix}\right) </math>,
:<math> \begin{align}
89. rida ⟶ 87. rida:
</math>
Kui tähistada siin:
:<math> c_n = \frac{1}{2} \left(a_n -ib_n\right), \,\, c_{-n} = \frac{1}{2} \left(a_n +ib_n\right) </math>
ongi tulemuseks
:<math>F(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \, c_n \, e^{i\frac{n\pi x }{L}}</math>
Erinevuseks on see, et indeksil <math> n </math> on nüüd väärtused miinus lõpmatusest lõpmatuseni ja seetõttu esinevad reas ka negatiivsed sagedused ( kui <math> n<0 </math>). Reaalsete signaalide Fourier' rittaarenduses koonduvad negatiivsed sagedused siiski välja. Tingimus selle jaoks on <math> c_{-n}=\overline{c_n} </math>, ehk negatiivse indeksiga kordaja peab olema positiivse indeksiga kordaja kordaja [[Kompleksarv#Kaaskompleksi võtmine |kaaskompleks]].
==Näide==
105. rida ⟶ 103. rida:
:<math>f(x) = \begin{cases} -\pi, & -\pi < x < 0 \\ +\pi, & 0 < x <\pi \end{cases}</math>
See on [[kastfunktsioon]] amplituudväärtusega <math> \pi </math>. Selle funktsiooni Fourier' rea trigonomeetrilise kuju leidmiseks tuleb arvutada kordajad <math> a_0,a_n,b_n </math>:
:<math> \begin{align}
| |||