Tühi hulk: erinevus redaktsioonide vahel

Oletame [[vastuväiteline tõestus|vastuväiteliselt]], et leidub kaks erinevat tühja hulka ø₁ ≠ ø₂. Omadusest (1) tuleneb, et ø₁ ⊂ ø₂ ja ø₂ ⊂ ø₁. [[Alamhulk#omadused|Alamhulkade omadustest]] järeldub, et ø₁ = ø₂, mis on vastolusvastuolus eeldusetga.

Tühi hulk ei ole sama mis eimiski. See on hulk, millesse mitte miski ei kuulu, kuid hulk ise on miski. See võib esimesel kokkupuutel raskusi tekitada. Osalt tuleb see nähtavasti sellest, et intuitiivne asjade virna mõiste ei ole päriselt vastavuses [[hulk|hulga]] formaalse definitsiooniga. Võib näiteks rääkida hulgast, millel on null elementi, mitte aga virnast, milles on null taldrikut. Hulka oleks parem võrrelda kotiga, milles on elemendid: tühi kott on küll tühi, aga ta on ikkagi olemas.

On inimesi, keda teeb nõutuks tühja hulga omadus, et ta on mis tahes hulga ''A'' [[alamhulk]]. Alamhulga definitsiooni kohaselt tähendab see, et hulga <math>\varnothing</math> ''iga'' (ehk ''mis tahes'') elemendi ''x'' korral kuulub ''x'' hulka ''A''. Et "iga" (või "mis tahes") on mõjuv sõna, siis me ootame intuitiivselt, et hulgas <math>\varnothing</math> peab tingimata olema ''mitu'' sellist elementi, mis on ühtlasi hulga ''A'' elemendid, kuid hulgas <math>\varnothing</math> lihtsalt pole ''ühtegi'' elementi. Nii võib tekkida ettekujutus, et <math>\varnothing</math> ei olegi üldse hulga ''A'' alamhulk. Aga tegelikult ei ole sõna "iga" väljendis "hulga <math>\varnothing</math> iga element" üldse nii mõjuv. Kui on [[väärus|väär]], et hulga <math>\varnothing</math> iga element on hulga ''A'' element, siis peab hulgas <math>\varnothing</math> olema vähemalt üks element, mis ei ole hulga ''A'' element. Et hulgas <math>\varnothing</math> ei ole üldse ''ühtegi'' elementi, siis "hulga <math>\varnothing</math> iga element" ei käigi tegelikult ühegi elemendi kohta, ja nõnda ei olegi hulgas <math>\varnothing</math> ühtegi elementi, mis ei ole hulga ''A'' element, nii et hulga <math>\varnothing</math> iga element on hulga ''A'' element: hulk <math>\varnothing</math> on hulga ''A'' alamhulk. Ükski väide, mis algab sõnadega "hulga <math>\varnothing</math> iga elemendi korral" ei väida midagi ühe elemendi kohta: tegemist on [[tühi tõde|tühja tõega]]. Selle kohta öeldakse mõnikord, et tühja hulga elementide kohta on kõik tõene.

Näiteks tühja [[liidetav]]ate hulga korral võrdub [[summa]] [[null]]iga; tühja [[tegur]]ite hulga korral võrdub [[korrutis]] [[üks|ühega]] ([[tühi korrutis]]). See võib tunduda kummalisena, sest tühjal hulgal pole ju elemente; kuidas siis saab vahet olla, kas neid liidetakse või korrutatakse?