Korpus (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
1. rida:
{{See artikkel| räägib kommutatiivse korrutamistehtega korpusest; ilma selle nõudeta korpuse kohta vaata artiklit [[Kaldkorpus]].}}
{{vikinda}}
Olgu ''K'' mingi [[hulk]], mis sisaldab vähemalt kaks elementi.
Selline hulk ''K'' oma kahe arvutustehtega on '''korpus''' ehk '''kommutatiivne korpus''', kui sellel on kõik järgmised omadused:
15. rida:
*''x''·''y'' = ''y''·''x'' alati (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii
''paaris''+''paaris'' = ''paaris'', ''paaris''·''paaris'' = ''paaris''
29. rida:
''paaritu''+''paaris'' = ''paaritu'', ''paaritu''·''paaris'' = ''paaris''
Kõik võimalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad!
Pandagu eriti tähele, et ''paaris''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes, ja ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes.
Hulgas ''K'' = {''paaris'', ''paaritu''} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk [[Galois'
Korpused on [[korpuseteooria]] põhiline uurimisobjekt.
Korpuste tuntud näited on [[ratsionaalarvude korpus]], [[reaalarvude korpus]], [[kompleksarvude korpus]] ja [[jäägiklassiring]]id mod ''p'', kus ''p'' on [[algarv]].
== Formaalsed definitsioonid ==
Korpus on [[algebraline struktuur]] [[hulk|hulgal]] <math>F</math>, mis moodustab [[liitmine|liitmise]] <math>+</math> suhtes hulgal <math>F</math> [[Abeli rühm|kommutatiivse rühma]] [[neutraalne element|neutraalse elemendiga]] <math>\boldsymbol{0}</math> ning mille <math>\boldsymbol{0}</math>-ist erinevad elemendid (hulgast <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \})</math> moodustavad [[korrutamine|korrutamise]] suhtes kommutatiivse rühma, kusjuures korrutamine on liitmise suhtes [[distributiivsus|distributiivne]].
Täpsemalt, hulka <math>F</math> koos sellel defineeritud [[algebraline tehe|algebraliste tehete]] liitmise <math>+</math> ja korrutamisega <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, st <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) nimetatakse '''korpuseks''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math>, kui on täidetud järgmised [[aksioom]]id:
# Liitmise [[kommutatiivsus]]: <math> \forall a,b\in F\quad a+b=b+a </math>.
# Liitmise [[assotsiatiivsus]]: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)</math>.
# Nullelemendi olemasolu: <math>\exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad a+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+a=a</math>.
# [[Vastandelement|Vastandelemendi]] olemasolu: <math>\forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=\boldsymbol{0}</math>.
# Korrutamise kommutatiivsus: <math>\forall a,b\in F\quad a*b=b*a</math>.
# Korrutamise assotsiatiivsus: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)</math>.
# Ühikelemendi olemasolu: <math>\exists e\in F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}\colon \forall a\in F\quad a*e=a </math>.
# [[Pöördelement|Pöördelemendi]] olemasolu nullelemendist erinevatel elementidel: <math>(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e</math>.
# Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)</math>.
Aksioomid 1—4 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga <math>F</math> elementide liitmise <math>+</math> suhtes, aksioomid 5—8 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math> elementide korrutamise <math>*</math> suhtes ja аksioom 9 seob liitmise ja korrutamise distributiivsusseadusega.
Aksioomid 1–7 ja 9 on [[ühikelemendiga assotsiatiivne kommutatiivne ring|ühikelemendiga assotsiatiivse kommutatiivse ringi]] definitsioon.
Kui korrutamise kommutatiivsuse aksioom välja jätta, saame [[kaldkorpus]]e definitsiooni.
Seoses teiste (ajalooliselt hiljem vaatluse alla võetud) struktuuridega saab korpust defineerida kui [[assotsiatiivne kommutatiivne ring|assitsiatiivset kommutatiivset ringi]], mis on [[kaldkorpus]]. Struktuuride hierarhia on järgmine:
: '''[[Ühikelemendiga assotsiatiivne kommutatiivne ring|Ühikelemendiga assotsiatiivsed kommutatiivsed ringid]]''' ⊃ [[Integriteetkond|'''Integriteetkonnad''']] ⊃ '''[[Faktoriaalring]]id''' ⊃ '''[[Peaideaaliring|id''' ⊃ '''[[Eukleidiline ring|Eukleidilised ringid]]''' ⊃ '''Korpused.'''
==Ajalugu==
Korpuse mõiste raames töötas implitsiitselt [[Évariste Galois]] [[1830]]. aastal (sellest sai alguse [[Galois' teooria]]). Kasutades korpuse [[algebraline laiend|algebralise laiendi]] ideed, leidis ta selle [[piisav ja tarvilik|piisava ja tarviliku tingimuse]], et ühe muutuja [[võrrand]] oleks [[radikaalides lahenduvus|radikaalides lahenduv]]. Hiljem näidati Galois' teooria abil, et võimatu on lahendada selliseid klassikalisi ülesandeid nagu [[ringi kvadratuur]], [[nurga trisektsioon]] ja [[kuubi duplikatsioon]].
Korpuse mõiste eksplitsiitne kasutuselevõtmine omistatakse [[Richard Dedekind]]ile, kes nimetas seda algul ratsionaalseks väljaks (korpuseks hakati seda nimetama [[1871]]. aastal).
Et korpuse mõiste on üldalgebra mõistete seas tavalistele arvudele kõige lähem, kasutatakse [[lineaaralgebra]]s korpust kui struktuuri, mis universaliseerib [[skalaar]]i mõister, ja lineaaralgebra põhistruktuur [[vektorruum]] defineeritakse konstruktsioonina üle mis tahes korpuse.
Korpuseteooria on suuresti ka [[algebraline geomeetria|algebralise geomeetria]] ja [[algebraline arvuteooria|algebralise arvuteooria]] aluseks.
▲Pandagu eriti tähele, et ''paaris''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes, ja ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes. Seega vastab ''paariline'' 2. punkti "nullelemendile" 0 ja ''paaritu'' 7. punkti "ühikelemendile" 1.
▲Hulgas ''K'' = {''paaris'', ''paaritu''} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk '''Galois’ korpuste''' sekka. Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!
[[Kategooria:Üldalgebra]]
| |||