Redaktsioon: 14. november 2018, kell 10:40 redigeeri MirkoM (arutelu \| kaastöö) Usaldatud kasutajad 3021 muudatust P →‎Lineaarsus ja kvaasilineaarsus Märgis: Visuaalmuudatus ← Vanem muudatus		Redaktsioon: 14. november 2018, kell 12:05 redigeeri eemalda MirkoM (arutelu \| kaastöö) Usaldatud kasutajad 3021 muudatust Resümee puudub Märgis: Visuaalmuudatus Uuem muudatus →
1. rida: '''Osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks''' (lühidalt ODV) nimetatakse [[Võrrand\|võrrandit]], mis sisaldab otsitavat funktsiooni <math>u(x_1 , \ldots , x_n)</math> ja selle [[Osatuletis\|osatuletisi]]. == ~~Lineaarsus~~Teist järku ODV lineaarsus ja kvaasilineaarsus == === Teist järku ODV === Teist järku ODV sisaldab otsitavat funktsiooni ja tema osatuletisi, kusjuures osatuletised ei ole kõrgemad kui teist järku. Üldkujul on <math>n</math>-muutuja teist järku ODV seega :<math> F\left(x_1,\ldots,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_k},\frac{\partial^2 u}{\partial x_i,x_k}\right)=0 \quad i,k=1,2,\ldots,n </math> ~~Vaatleme võrrandit~~ :<math>F\left(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)=0</math>▼ ~~Tähistades <math>\dfrac{\partial u}{\partial x}=u_x</math>, <math>\dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=u_{xy}</math> saab viimane kuju~~ :<math>F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0</math>▼ Osatuletistega diferentsiaalvõrrandit nimetatakse '''lineaarseks''', kui see on lineaarne lahendi <math>u</math> ning selle osatuletiste suhtes, st. osatuletised on esimeses astmes, kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest <math>x,y</math>.▼ :<math>a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f,</math>▼ kus <math>a_{ij},b_i,c</math> ja <math>f</math> sõltuvad <math>(x,y)</math>-st. ▼ === Lineaarsus ja kvaasilineaarsus === '''Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne''' võrrand on kujul▼ Vaatleme kahe sõltumatu muutujaga <math>x,y</math> teist järku ODV-si. Seega nende üldkuju on ▲:<math>F\left(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)=0</math>, kasutades tähistust <math>\dfrac{\partial u}{\partial x}=u_x</math>, <math>\dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=u_{xy}</math> saab viimast kompaktsemalt esitada <math>F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0</math> ▲~~Osatuletistega diferentsiaalvõrrandit nimetatakse~~* '''~~lineaarseks~~Lineaarseks''' nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandit, kui see on lineaarne lahendi <math>u</math> ning selle osatuletiste suhtes. See tähendab, ~~st.~~et osatuletised on esimeses astmes, ja kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest <math>x,y</math>. ▲::<math>a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f,</math> ▲:kus <math>a_{ij},b_i,c</math> ja <math>f</math> sõltuvad <math>(x,y)</math>-st. ▲* '''Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne''' võrrand on kujul ▲::<math>~~F(x,y,u,u_x,u_y,~~a_{11}u_{xx},+2a_{12}u_{xy},+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_x,u_y)=0,</math> :kus <math>a_{ij}</math> sõltuvad <math>(x,y)</math>-st. ~~kus~~*'''Kvaasilineaarse''' ~~<math>a_{ij}</math>~~võrrandi korral sõltuvad ~~<math>(x,y)</math>-st. Kui~~ kordajad <math>a_{ij}</math> ~~sõltuvad~~ peale <math>x,y</math>-i ka <math>u</math>-st ja tema esimest järku osatuletistest~~, siis on võrrand '''kvaasilineaarne'''~~.▼ ~~:<math>a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_x,u_y)=0,</math>~~ ▲kus <math>a_{ij}</math> sõltuvad <math>(x,y)</math>-st. Kui kordajad <math>a_{ij}</math> sõltuvad peale <math>x,y</math>-i ka <math>u</math>-st ja tema esimest järku osatuletistest, siis on võrrand '''kvaasilineaarne'''. == Teist järku ODV kanoonilised kujud ==

Osatuletistega diferentsiaalvõrrand: erinevus redaktsioonide vahel