Eralduvusaksioomid

Et topoloogiline ruum on väga üldine mõiste, piirdutakse topoloogias ja topoloogiaga seotud matemaatikaharudes sageli teatud kitsendusi rahuldavate topoloogiliste ruumide vaatlemisega. Eralduvusaksioomid on ühed niisugused kitsendused.

Eralduvusaksioomid on aksioomid selles mõttes, et kui neid lisada topoloogilise ruumi definitsioonis topoloogilise ruumi aksioomidele, saaksime uue, kitsama topoloogilise ruumi mõiste. Tänapäevase lähenemise kohaselt kasutatakse väljendit "topoloogiline ruum" kõikjal vaid ühes tähenduses (nii nagu ta on määratletud artiklis Topoloogiline ruum) ning kõneldakse erinevat liiki topoloogilistest ruumidest. Nimetus eralduvusaksioom on aga vanadest aegadest alles jäänud. Paljusid eralduvusaksioome tähistatakse T-tähega, mis tuleb saksakeelsest sõnast Trennung ("eraldamine").

Eralduvusaksioomides ettetulevate mõistete täpne tähendus on aja jooksul muutunud. Seepärast tuleb vanemat kirjandust lugedes tähele panna, kuidas antud autor on need mõisted määratlenud.

DefinitsioonidRedigeeri

Topoloogilist ruumi   nimetatakse

  • T0-ruumiks, kui mistahes kaks punkti   on topoloogiliselt eristatavad, s. t. punktil   leidub ümbrus   nii, et  , või leidub punktil   ümbrus   nii, et  ;
  • T1-ruumiks, kui mistahes kahe punkti   korral leiduvad punkti   ümbrus   ja punkti   ümbrus   nii, et   ning  ;
  • T2-ruumiks ehk Hausdorffi ruumiks ehk eralduvaks ruumiks, kui mistahes kahe punkti   korral leiduvad punkti   ümbrus   ja punkti   ümbrus   nii, et  ;
  • regulaarseks, kui mistahes  -kinnise alamhulga   ning mistahes punkti   korral leiduvad hulga   ümbrus   ja punkti   ümbrus   nii, et  ;
  • normaalseks, kui mistahes kahe lõikumatu  -kinnise alamhulga   korral leiduvad hulga   ümbrus   ja hulga   ümbrus   nii, et  ;
  • täielikult regulaarseks, kui mistahes  -kinnise alamhulga   ning mistahes punkti   korral leidub pidev kujutus   nii, et   ja  .