Transitiivne hulk

Hulk $x$ on transitiivne hulk definitsiooni kohaselt parajasti siis, kui mis tahes z ja y korral kehtib $z\in y\in x\Rightarrow z\in x$.

Samaväärse definitsiooni järgi on hulk $A$ transitiivne, kui iga tema element, mis on hulk, on tema alamhulk. (Tingimusest jäävad välja pärisurelemendid, st tühihulgast erinevad urelemendid.)

Analoogselt on klass $A$ transitiivne klass, kui klassi $A$ iga element tema alamhulk.

Näiteid

• Ordinaalarvud John von Neumanni definitsiooni järgi on transitiivsed hulgad. Von Neumann defineeris ordinaalarve pärilikult transitiivsete hulkadena: ordinaalarv on transitiivne hulk, mille elemendid on transitiivsed (ja seega ordinaalarvud). Kõikide ordinaalarvude klass on transitiivne klass.
• Grothendiecki universum on definitsiooni kohaselt transitiivne hulk.
• Transitiivseid klasse kasutatakse hulgateooria mudelitena.

Omadused

• Hulk $A$ on transitiivne parajasti siis, kui $\bigcup A\subseteq A$, kus $\bigcup A=\bigcup _{x\in A}x=\{y|(\exists x\in A)y\in x\}=\{y|y\in ^{2}A\}$ on hulga $A$ kõikide elementide ühend.
• Kui $A$ on transitiivne, siis ka $\bigcup A$ on transitiivne.
• Kui $A$ ja $B$ on transitiivsed hulgad, siis ka hulk $A\cup B\cup \{A,B\}$ on transitiivne.
• Kui $A$ on klass, mille elemendid on kõik transitiivsed hulgad, siis $A\cup \bigcup A$ on transitiivne klass.
• Hulk $A$ on transitiivne parajasti siis, kui $A$ on oma astmehulga alamhulk.
• Transitiivse hulga astmehulk on transitiivne. Seda omadust kasutatakse von Neumanni hierarhia puhul, et näidata, et selle hierarhia kõik astmed on transitiivsed.

Vaata ka

• Hulga transitiivne kate
• Kitsas seos
• Transitiivne seos

Kirjandus

• Thomas Jech. The Axiom of Choice', Dover Publications 2008 [1973], ISBN 0-486-46624-8.