Ava peamenüü
Ruutvõrrandi lahendid on ruutfunktsiooni nullkohad

Ruutvõrrand on algebraline võrrand üldkujuga

,

kus on tundmatu ning , ja on arvud, kusjuures .

Ruutvõrrandi lahendivalem on

.

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi lahendit. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus ruutfunktsiooni graafik lõikab -telge.

DefinitsioonRedigeeri

Ruutvõrrand on võrrand kujul

 ,

kus   on tundmatu ehk otsitav ning  ,   ja   on antud arvud, kusjuures  . Võrrandi vasaku poole avaldises on   ruutliige ehk pealiige,   lineaarliige ja   vabaliige. Arvud  ,   ja   on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas   on ruutliikme kordaja ja   lineaarliikme kordaja.

Näiteks   on ruutvõrrand, kus  ,   ja  .

Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on  . Taandatud ruutvõrrandi kuju on

 .

Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole  , nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks.

Näiteks   on taandatud ruutvõrrand, seevastu   on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja  .

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju:  ,   või  .

Ruutvõrrandi lahend on tundmatu   iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi   lahend on  , sest  . Samuti on selle ruutvõrrandi lahend  , sest  .

Ruutvõrrand on teist järku algebraline võrrand, mis tähendab, et võrrandi vasak pool on polünoom, mille aste on  . Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks.

LahendivalemRedigeeri

Üldkujuline ruutvõrrandRedigeeri

Üldkujulise ruutvõrrandi   lahendid saab leida valemist

 .

See valem annab kaks lahendit   ja  , millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk  , teise arvutamisel aga  .

Näiteks ruutvõrrandi   lahendid on

 ,

seega   ja  .

Lahendivalemi tuletamiseks lähtume võrdusest

 .

Viime   paremale poole:

 .

Korrutame pooli suurusega  :

 .

Liidame mõlemale poolele  :

 .

Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna:

 .

Järelikult

 ,

millest avaldame otsitava  :

 .

Taandatud ruutvõrrandRedigeeri

Taandatud ruutvõrrandi   lahendid saab leida valemist

 .

Näiteks võrrandi   lahendid on

 ,

millest   ja  .

Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna  ,   ja   asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad  ,   ja   ning viia nimetaja   juuremärgi alla.

DiskriminantRedigeeri

 
Ruutfunktsiooni graafiku lõikumine  -teljega sõltuvalt diskriminandi märgist

Ruutvõrrandi   lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist

 

nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks.

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist.

  • Kui  , siis on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist lahendit   ja  .
  • Kui  , siis on võrrandil kaks kokkulangevat reaalarvulist lahendit  .
  • Kui  , siis võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil   puuduvad reaalarvulised lahendid, sest  . Ruutvõrrandil leidub reaalarvulisi lahendeid kindlasti siis, kui   ja   on erineva märgiga, sest sel juhul on diskriminant kindlasti positiivne.

Geomeetriliselt vastavad ruutvõrrandi lahenditele ruutfunktsiooni lõikepunktid  -teljega. Kui ruutvõrrandi diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni   graafik  -telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub graafik  -telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte  -teljega pole.

Ruutkolmliikme tegurdatud kujuRedigeeri

Arv   on ruutvõrrandi   lahend parajasti siis, kui avaldis   on avaldise   tegur. Siit järeldub, et kui   ja   on ruutvõrrandi   lahendid, siis esitub ruutkolmliige lineaartegurite korrutisena

 .

Kui ruutvõrrand on taandatud, siis on sellel võrdusel kuju

 .

Need võrdused kehtivad ka juhul  .

Kui on teada ruutkolmliikme tegurdatud kuju, siis saab sellest otse välja lugeda ruutvõrrandi lahendid. Näiteks teades, et  , võime järeldada, et ruutvõrrandi   lahendid on   ja  .

Viète'i valemidRedigeeri

Üldkujulise ruutvõrrandi   lahendid   ja   rahuldavad võrdusi

 ,
 .

Taandatud ruutvõrrandi   lahendid   ja   rahuldavad võrdusi

 ,
 .

Need valemid avastas 16. sajandil prantsuse matemaatik François Viète, kelle järgi nad on ka nime saanud.

Kehtib ka vastupidine: kui   ja   rahuldavad nimetatud võrdusi, siis on need arvud vastava ruutvõrrandi lahendid.

Viète'i valemid järelduvad vahetult ruutpolünoomi esitusest lineaartegurite korrutisena, kui seal sulud lahti korrutada. Nimelt, kui   ja   on ruutvõrrandi lahendid, siis

 .

Et kaks polünoomi on võrdsed parajasti siis, kui vastavate liikmete kordajad on võrdsed, siis saame esimeses ja viimases avaldises lineaarliikmeid ja vabaliikmeid võrreldes seosed   ja  . Nendest tulenevad Viète'i valemid üldkujulise ruutvõrrandi jaoks. Viète'i valemid taandatud ruutvõrrandi jaoks saame erijuhul  ,  ,  .

Praktikas võimaldavad Viète'i valemid ruutvõrrandi lahendite õigsust kontrollida. Samuti aitavad nad mõnel juhul võrrandit peast lahendada. Näiteks ruutvõrrandi   lahendamisel on vaja leida arvud   ja  , mille puhul   ja  . Need arvud on   ja  .

Viète'i valemite abil saab lihtsasti leida ruutfunktsiooni   graafiku haripunkti. Et graafik on sümmeetriline haripunkti läbiva vertikaalsirge suhtes, siis on haripunkti  -koordinaat ruutvõrrandi lahendite aritmeetiline keskmine:

 .

Haripunkti  -koordinaadi saame seejärel arvutada ruutfunktsiooni väärtusena leitud argumendil:

 .

Viimaste valemite lõppkujud kehtivad olenemata sellest, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on. Haripunkti koordinaatide teadmine on mõnikord kasulik ruutfunktsiooni graafiku joonestamisel.

Viète'i valemeid saab üldistada ükskõik millise astmega polünoomi juhule.

Kompleksarvulised lahendidRedigeeri

Kui reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi diskriminant   on negatiivne, siis võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, aga on olemas kompleksarvulised lahendid. Kui  , siis ruutvõrrandi lahendivalemis on  , kus   on imaginaarühik, ning üldkujulise ruutvõrrandi lahendid avalduvad valemiga

 .

Need lahendid on teineteise kaaskompleksid.

Näiteks võrrandi   puhul on  . Võrrandi lahendid on seega

 .

Lahendite järgi saab vasaku poole esitada lineaartegurite korrutisena, ülaltoodud näites

 .

LahendamismeetodidRedigeeri

Kuigi iga ruutvõrrandit saab lahendada lahendivalemi abil, on teinekord otstarbekam kasutada mõnda muud meetodit, mis nõuab vähem arvutustööd.

Erikujulised võrrandidRedigeeri

Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendeid on võimalik leida võrrandi teisendamise teel.

  • Võrrandi   viime kujule  , millest  . Järelikult võrrandi lahendid on   ja  .
  • Võrrandi   viime kujule  . Järelikult võrrandi lahendid on   ja  .
  • Võrrandi   lahendid on  .

Mõnikord kehtib võrrandi   kordajate vahel seos, mille alusel saab võrrandi lahendid otse välja kirjutada. Levinuimad nendest seostest on järgmised.

  • Võrrandi kordajate summa on null. Sellise võrrandi lahendiks on  , sest asetades selle võrrandisse, saame võrduse  . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal  . Seega võrrandi   lahendid on   ja  , võrrandi   lahendid aga   ja  .
  • Võrrandi lineaarliikme kordaja võrdub kahe ülejäänud kordaja summaga. Sellise võrrandi lahendiks on  , sest asetades selle võrrandisse, saame   ehk  . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal  . Näiteks võrrandi   lahendid on   ja  .

Viimaseid seoseid saab üldistada ka kõrgemat järku võrranditele.

Ruutkolmliikme tegurdamineRedigeeri

Vaatleme kõigepealt taandatud ruutvõrrandit  . Tegurdamismeetodi puhul püütakse lahutada võrrandi vasak pool lineaartegurite korrutiseks ja viia võrrand kujule  . Et kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks tegur on null, peab olema   või  . Seega üks lahend on   ja teine lahend  .

Näiteks ruutvõrrandi   lahendamiseks lahutame vasaku poole teguriteks:  . Siit saame võrrandi lahendid   ja  .

Sobivat teguriteks lahutust aitab otsida asjaolu, et arvude   ja   summa võrdub arvuga   ja korrutis arvuga  . Seda näeme sulge avades:  .

Tegurdamismeetodit kasutatakse valdavalt olukorras, kus võrrandi kordajad   ja   on täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega taandatud ruutvõrrandil leidub lahendeid ratsionaalarvude seas, siis on need lahendid samuti täisarvud. Seega võime sobivate   ja   leidmiseks lahutada võrrandi vabaliikme   kõikvõimalikel viisidel kahe täisarvu korrutiseks ja kontrollida, kas nende arvude summa on  . Näiteks võrrandi   puhul vaatame läbi arvu   teguriteks lahutused  ,   jne, kuni leiame lahutuse  , mille tegurite summa on  . Kui ükski variant vajalikku summat ei anna, siis võrrandil täisarvulisi ega üldse ratsionaalarvulisi lahendeid ei ole. Sel juhul on võrrandi lahendid irratsionaalarvud (või kompleksarvud).

Üldkujulise ruutvõrrandi   lahendamiseks püütakse võrrand esitada kujul  . Siit   või  . Ruutvõrrandi lahendid on   ja  .

Üldkujulise ruutvõrrandi saab teisendada tegurdamiseks sobivamaks taandatud ruutvõrrandiks kordaja üleviimise võttega. Lähtume võrrandist

 

ja korrutame mõlemat poolt ruutliikme kordajaga  :

 .

Toome sisse uue muutuja   ning kirjutame võrrandi taandatud ruutvõrrandina

 .

Saadud ruutvõrrand erineb esialgsest võrrandist ainult selle poolest, et ruutliikme kordaja   on üle läinud vabaliikmesse. Selle võrrandi lahendamisel saame lahendid   ja  . Lähtevõrrandi lahendid on   ja  .

 
Arvu   kõik lahutused täisarvude korrutiseks, kus tegurite järjekord pole oluline

Kui lähtevõrrandi kordajad  ,   ja   on täisarvud, siis on ka saadud taandatud ruutvõrrandi kordajad täisarvud. Seetõttu piisab täisarvuliste lahendite leidmiseks vaadelda arvu   teguriteks lahutusi. Kui lähtevõrrandi kordajad on ratsionaalarvud, siis saame need teisendada täisarvudeks, korrutades võrrandi pooli kordajate nimetajate vähima ühiskordsega.

Lahendame näiteks võrrandi  . Kirjutame võrrandi uue tundmatu   kaudu:  . Vaatleme vabaliikme   teguriteks lahutusi ja proovime leida sellise lahutuse, kus tegurite summa on  . Näeme, et   ei sobi,   ei sobi, aga   sobib. Järelikult  . Seega uue võrrandi lahendid on   ja   ning esialgse võrrandi lahendid   ja  .

Tegurdamismeetod ei nõua ruutjuure arvutamist, kuid võimaldab efektiivselt lahendada ainult piiratud hulka võrrandeid.

Täisruuduks täiendamineRedigeeri

Täisruuduks täiendamise meetodi idee on haarata ruutvõrrandi ruutliige ja lineaarliige täisruuduks teiseneva avaldise koosseisu, kasutades ära summa ruudu valemit  . Sellega saadakse võrrand, mis sisaldab tundmatut ainult üks kord ning seda on võimalik otseste teisendustega avaldada.

 
Avaldise   täiendamiseks täisruuduks tuleb talle liita  

Taandatud ruutvõrrandi   lahendamiseks rakendame järgmisi samme.

  1. Viime vabaliikme paremale poole.
  2. Liidame võrrandi mõlemale poolele sellise arvu, et vasakule jääks avaldis kujul  . Et peab kehtima  , siis liidetav arv on  .
  3. Kirjutame vasaku poole kujul  .
  4. Leiame mõlemast poolest ruutjuure ja avaldame  .

Illustreerime seda lahendamiskäiku võrrandi   puhul. Kirjutame võrrandi kujul

 .

Vasak pool on täisruudu avaldise algus. Et lineaarliikme kordaja   peab olema  , siis  . Järelikult  . Liidame selle mõlemale poolele:

 .

Vasaku poole saame esitada täisruuduna:

 .

Järelikult

 .

Seega   ehk   ja  .

 
Avaldis   esitub ruutude vahena  .

Täisruuduks täiendamise meetodil on ka teine variant, mille puhul viime kõigepealt vabaliikme paremale poolele ja võtame vasakul ühise teguri   sulgude taha:  . Nüüd avaldame vasakul teguri   avaldiste   ja   summana, teguri   aga nende vahena. Seejärel kasutame ruutude vahe valemit  . Nii tekib jällegi võrrand, kust   on vahetult leitav.

Näiteks võrrandi   viime kujule

 .

Vasakul esitame   ja  . Järelikult

 .

Ruutude vahe valemi põhjal saame

 .

Seega  , millest   ning  .

Üldkujulise ruutvõrrandi   saab ruutliikme kordajaga jagamise teel teisendada taandatud ruutvõrrandiks  . Seejärel võime rakendada eelnevas esitatud võtteid. Teine võimalus on korrutada üldkujulise ruutvõrrandi pooli ruutliikme kordajaga   ning ülaltooduga analoogiliste sammude abil tekitada vasakule poolele avaldis  .

Täisruuduks täiendamise meetod võimaldab lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Selle abil saab tuletada ka ruutvõrrandi lahendivalemit.

Lahendivalemi kasutamineRedigeeri

Ruutvõrrandi lahendivalemi

 

kasutamine on universaalne meetod ruutvõrrandi lahendite leidmiseks ja seda saab rakendada seal, kus teised meetodid tulemust ei anna (näiteks ruutkolmliige pole täisarvudes tegurdatav) või nõuavad liiga palju tööd (näiteks võrrandi kordajad on murdarvud). Samuti kasutatakse lahendivalemit siis, kui ruutvõrrandi lahendamist on vaja programmeerida.

Peale tavapärase valemi on olemas veel ka teine lahendivalem

 ,

mis järeldub esimesest Viète'i valemite abil: ruutvõrrandi lahendid   ja   saab avaldada ka vastavalt kujul   ja  . Teise lahendivalemi eelis on see, et juhul  ,  , kui ruutvõrrand muutub lineaarvõrrandiks, saame üheks lahendiks selle lineaarvõrrandi lahendi, samas kui tavapärane valem annab sellisel juhul nulliga jagamise. Teise lahendivalemi puudus on see, et ta ei võimalda arvutada ühte lahendit ruutvõrrandite puhul, kus  .

Teist lahendivalemit kasutatakse mõnede arvutusmeetodite koosseisus, mis peavad arvestama, et lahendatava ruutvõrrandi ruutliikme kordaja võib olla võrrandi ülejäänud kordajatega võrreldes absoluutväärtuselt väga väike või lausa null. Üks selline on näiteks Mulleri meetod.

Geomeetriline lahendamineRedigeeri

Geomeetriline lahendamine tähendab ruutvõrrandi lahendite konstrueerimist sirkli ja joonlaua abil. Jagades vajadusel ruutvõrrandi läbi ruutliikme kordajaga, võime eeldada, et võrrandi ruutliikme kordaja on  .

Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit  , kus   on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud Eukleidese peateose Elemendid II raamatu 14. lauses.

 
Ruutjuure geomeetriline leidmine

Tõmbame lõigu   pikkusega  . Pikendame seda üle punkti   punktini   nii, et lõigu   pikkus oleks  . Konstrueerime poolringjoone, mille diameetriks on  . Tõmbame lõigule   punktist   ristsirge. Olgu   selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu   pikkus on  .

See järeldub kolmnurkade   ja   sarnasusest: kehtib seos  , millest  .

Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi:  ,   ja  . Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud.

Võrrandi   lahendamiseks tõmbame lõigu   pikkusega  . Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on  . Tõmbame punktist   lõigule   ristlõigu   pikkusega   ja punktist   kiire risti lõiguga  . Olgu   ja   selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu   pikkus ja lõigu   pikkus.

Võrrandite   ja   lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti   konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist   kiire läbi ringjoone keskpunkti  . Olgu   ja   vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi   positiivne lahend on lõigu   pikkus ja võrrandi   positiivne lahend lõigu   pikkus.

 
Ruutvõrrandi   lahendite leidmine geomeetrilise konstruktsiooni abil
 
Ruutvõrrandite   ja   lahendite leidmine

Esimese konstruktsiooni puhul rahuldavad   ja   Viète'i valemeid   ja  . Teise konstruktsiooni puhul järeldub võrdusest   kas   või  , mis on samaväärsed vastavate ruutvõrranditega.

 
Carlyle'i ringjoon võrrandi   lahendamiseks

Koordinaatsüsteemi kasutamisel on võimalik lahendada ka negatiivsete kordajatega või negatiivsete lahenditega ruutvõrrandeid. Üks selline meetod on Carlyle'i ringjoon. Eeldame, et lahendatav võrrand on kujul  . Märgime koordinaattasandil kaks punkti koordinaatidega   ja  . Tõmbame ringjoone, mille diameetri otspunktideks on need kaks punkti. Kui see ringjoon lõikab  -telge, siis on ruutvõrrandi lahenditeks lõikepunktide abstsissid.

Selle ringjoone võrrand on  . Et ringjoone lõikepunktides  -teljega on  , siis lõikepunktide  -koordinaadid rahuldavad võrrandit  .

Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid  ,  ,   ja   asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni   graafikul.

Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid.

Vaata kaRedigeeri