Kasutaja:Sanderko/Fourier' rida

Fourier' rida (Fourier' ritta arendatud funktsioon) on perioodilise lähtefunktsiooni arendus, mis seab sellele vastavusse erinevate siinus- ja koosinusfunktsioonide summa ehk superpositsiooni.
Fourier' rida on nimetatud prantsuse matemaatiku ja füüsiku Joseph Fourier' auks. Algselt võttis Fourier sellise rea kasutusele, et lahendada soojusvõrrandit. Tänapäeval on Fourier' rida kasutusel paljudes erinevates füüsika valdkondades, näiteks elektroonikas ja signaalitöötluses.

Definitsioon

Funktsiooni $f(x)$ Fourier' ritta arenduseks lõigul $-L\leq x\leq L$ nimetatakse funktsiooni :

$F(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos({\frac {n\pi x}{L}})+b_{n}\sin({\frac {n\pi x}{L}})]$

Kordajad

Arvestades, et Fourier' rida koondub oma lähtefunktsiooniks, peab kehtima $F(x)=f(x)$ ning kasutades siinus- ja koosinusfunktsioonide ortogonaalsust on võimalik leida kordajad :

$a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\,dx$

$a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos({\frac {n\pi x}{L}})\,dx$

$b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\sin({\frac {n\pi x}{L}})\,dx$

Eksponentkuju

Euleri valemi,

$e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,$

abil saab Fourier' rea viia eksponent kujule :

$F(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\,c_{n}e^{\frac {in\pi x}{L}},\,$

kusjuures $c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(x)e^{\frac {-in\pi x}{L}}.\,dx$
Kuna eksponentkuju tuleb otseselt trigonomeetrilisest kujust, siis on kordajate vahel otsene seos.

$n\in \mathbb {Z^{+}}$

$c_{0}=a_{0}\,$

$c_{n}=1/2(a_{n}-b_{n})\,$

$c_{-n}=1/2(a_{n}+b_{n})\,$

Omadused

• Kui $f(x)$ on paaritu funktsioon, $f(x)=-f(-x),$ siis Fourier' rea komponentidest jäävad alles vaid siinuse ees olevad kordajad $b_{n}.$

• Kui $f(x)$ on paaris funktsioon, $f(x)=f(-x),$ siis jäävad alles vaid vabalige $a_{0}$ ja koosiinuse ees olev kordaja$a_{n}.$

• Fourier' rida koondub funktsiooniks $f(x)$ kõikides $f(x)$ pidevuse punktides.
• $f(x)$ katkevuse punktides koondub Fourier' rida suuruseks ${\frac {f(C^{-})+f(C^{+})}{2}},$ kus $f(C^{+})=\lim _{x\to C^{+}}f(x)$ ja $f(C^{-})=\lim _{x\to C^{-}}f(x).$

Näide

Ruutlaine nelja esimese nullist erineva liikme Fourier' rida.

Olgu meil defineeritud funktsioon $f(x)$ lõigul $[-\pi ,\pi ]$

$f(x)={\begin{cases}-\pi ,&-\pi <x<0\\+\pi ,&0<x<\pi \end{cases}}$

Leiame selle funktsiooni Fourier' rea üldkuju. Esiteks paneme tähele, et $f(x)$ on paaritu funktsioon ja seega $a_{0}=a_{n}=0.$ Kui kasutame eelpool andtud valemit $b_{n}$ arvutamiseks, saame:

$b_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n}}$

Definitsioonist lähtudes saab Fourier' rea esitada kujul:

$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {1-(-1)^{n}}{n}}\sin(nx).$

Kõrval olevatel graafikutel on kujutatud selle funktsiooni Fourier' ritta arendused. Ülemisel on võetud esimene liige ja järjest liikmeid summeerides on alumisel joonisel näha nelja esimese nullist erineva liikme summast saadud funktsioon $F^{4}(x)=\sum _{n=1,3,5,7}\,{\frac {1-(-1)^{n}}{n}}\sin(nx).$

Viited

<references>