Kasutaja:Margusmartsepp/kasutajaartiklid/Probleemide lahendamine

Suvaline sisend

 Pikemalt artiklis Suvaline arv

Suvaline skalaar

Skalaari c loomine, mis on täisarv piirides a kuni b.

RandomInteger[{a, b}]

Näide

RandomInteger[{-9, 99}]

10

Suvaline maatriks

Maatriksi A_xy loomine, mis on täidetud suvaliste täisarvudega piirides a kuni b.

RandomInteger[{a, b}, {x, y}]

Näide

RandomInteger[{-9, 99}, {4, 4}]

 {{6, 95, 51, 35}, {75, 81, -5, 60}, {-1, 83, 83, 2}, {-8, 27, 92, 38}}

$\left[{\begin{array}{cccc}6&95&51&35\\75&81&-5&60\\-1&83&83&2\\-8&27&92&38\end{array}}\right]$

Maatriks

 Pikemalt artiklis Maatriks

Näidete jaoks olgu defineeritud:

A = RandomInteger[{-9, 99}, {4, 4}]; B = RandomInteger[{-9, 99}, {4, 4}]; c = RandomInteger[{-9, 99}];

{{72, 44, 76, 31}, {99, -4, 87, 5}, {88, 75, 22, 28}, {71, -4, 40, 8}}

$\left[{\begin{array}{cccc}72&44&76&31\\99&-4&87&5\\88&75&22&28\\71&-4&40&8\end{array}}\right]$

{{99, 96, 8, 22}, {20, 86, 85, 99}, {12, 7, 11, 38}, {29, -7, 0, 46}}

$\left[{\begin{array}{cccc}99&96&8&22\\20&86&85&99\\12&7&11&38\\29&-7&0&46\end{array}}\right]$

10

Tehted

Maatriksite liitmine

A+B

$\left[{\begin{array}{cccc}171&140&84&53\\119&82&172&104\\100&82&33&66\\100&-11&40&54\end{array}}\right]$

Maatriksite lahutamine

A-B

$\left[{\begin{array}{cccc}-27&-52&68&9\\79&-90&2&-94\\76&68&11&-10\\42&3&40&-38\end{array}}\right]$

-A+B

$\left[{\begin{array}{cccc}27&52&-68&-9\\-79&90&-2&94\\-76&-68&-11&10\\-42&-3&-40&38\end{array}}\right]$

Maatriksi vastavate elementide korrutamine

Sarnaselt korrutamisega töötavad ka teised operaatorid, nt. astendamine. A*B

$\left[{\begin{array}{cccc}7128&4224&608&682\\1980&-344&7395&495\\1056&525&242&1064\\2059&28&0&368\end{array}}\right]$

Maatriksikorrutis

A.B

$\left[{\begin{array}{cccc}9819&11011&5152&10254\\10910&9734&1409&5318\\11288&14856&7321&11485\\7661&6696&668&3054\end{array}}\right]$

B.A

$\left[{\begin{array}{cccc}18898&4484&16932&3949\\24463&6515&14832&4222\\5223&1173&3283&1019\\4661&1120&3435&1232\end{array}}\right]$

Skalaari liitmine, lahutamine ja korrutamine

c+A

$\left[{\begin{array}{cccc}82&54&86&41\\109&6&97&15\\98&85&32&38\\81&6&50&18\end{array}}\right]$

-c+A

$\left[{\begin{array}{cccc}62&34&66&21\\89&-14&77&-5\\78&65&12&18\\61&-14&30&-2\end{array}}\right]$

c*A

$\left[{\begin{array}{cccc}720&440&760&310\\990&-40&870&50\\880&750&220&280\\710&-40&400&80\end{array}}\right]$

Omadused ja tehted

LVS lahendamine

Funktsioon töötab nii ruut, kui ristkülikmaatriks sisenditega ja lahendab maatriks võrrandit m.x=b. Lisaks olukorrale kus üks konkreetne lahendus leidub, annab funktsioon teada ka sellest, kui:

• on lõpmata palju lahendeid, ning tagastab ühe neist
• lahendeid ei eksisteeri, ning teavitab sellest

LinearSolve[m,b]

Näiteks:

$\left\{{\begin{array}{c}3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1\\2x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-2\\-x_{1}+{\frac {x_{2}}{2}}-x_{3}=0\end{array}}\right.$

LinearSolve[{{3, 2, -1}, {2, -2, 4}, {-1, 1/2, -1}}, {1, -2, 0}]

{1,-2,-2}

Homogeense LVS lahendamine

Lahendab maatriks võrrandit m.x=0

NullSpace[m]

Maatriksi astak

MatrixRank[A]

4

Maatriksi transponeerimine

Transpose[A]

$\left[{\begin{array}{cccc}72&99&88&71\\44&-4&75&-4\\76&87&22&40\\31&5&28&8\end{array}}\right]$

Maatriksi kaaskomplesksarvu transponeerimine

ConjugateTranspose[A + I]

$\left[{\begin{array}{cccc}72-i&99-i&88-i&71-i\\44-i&-4-i&75-i&-4-i\\76-i&87-i&22-i&40-i\\31-i&5-i&28-i&8-i\end{array}}\right]$

Pöördmaatriks

Inverse[A]

$\left[{\begin{array}{cccc}-{\frac {6104}{584319}}&-{\frac {80}{4090233}}&{\frac {28564}{4090233}}&{\frac {65647}{4090233}}\\-{\frac {4006}{584319}}&{\frac {12902}{584319}}&{\frac {9461}{584319}}&-{\frac {25654}{584319}}\\{\frac {5281}{584319}}&{\frac {68227}{4090233}}&-{\frac {23564}{4090233}}&-{\frac {103415}{4090233}}\\{\frac {25765}{584319}}&-{\frac {295268}{4090233}}&-{\frac {102572}{4090233}}&{\frac {355948}{4090233}}\end{array}}\right]$

Aritmeetriline vektor

• def. Vektorid on ortogonaalsed, kui nende skalaarkorrutis on 0. $\,xy=0$
• def. Vektori pikkus on ruutjuur vektori skalaarruudust.

Vektori pikkus

Tuntud ka kui skalaarruut.

Notatsioon:

$|x|={\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

Norm[expr]

Näide:

Norm[{3, 4}];

5

Vektorite vahelist kaugust saab leida:

EuclideanDistance[{a, b, c}, {x, y, z}]

Vektori vaheline nurk

2 vektori vaheline nurk.

Notatsioon:

$\cos(\theta )=\cos \left({\hat {x,y}}\right)={\frac {\text{xy}}{|x\|y|}}={\frac {x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}}}}}$

VectorAngle[x, y]

Ruutmaatriks

• def. Vektorruumi $\mathbb {R} ^{n}$ ühikvektor on $\delta _{\text{ij}}=\left\{{\begin{array}{cc}0,&{\text{kui }}i\neq j\\1,&{\text{kui }}i=j\end{array}}\right.$. Ühikvektor on ortogonaalne.

Determinant

Det[A]

4090233

Summad ja päratud read

• $1+x+\ldots +x^{n-1}={\frac {1-x^{n}}{1-z}}$