Redaktsioon: 18. jaanuar 2019, kell 00:34 redigeeri MirkoM (arutelu \| kaastöö) Usaldatud kasutajad 3021 muudatust PResümee puudub Märgis: Visuaalmuudatus ← Vanem muudatus		Redaktsioon: 7. mai 2019, kell 13:50 redigeeri eemalda Iifar (arutelu \| kaastöö) Administraatorid 76 120 muudatust P pisitoimetamine Märgis: AWB Uuem muudatus →
1. rida: {{ToimetaAeg\|kuu=september\|aasta=2016}}{{keeletoimeta}} '''Fourier' rida''' (või ka '''Fourier' reaksarendus''') on viis esitada perioodilist signaali või perioodilist impulsside jada [[~~Sinusoid\|sinusoidide~~sinusoid]]ide summana. Summat saab esitada komplekssete astendajatega [[eksponentfunktsioon]]ide või trigonomeetriliste funktsioonide ([[siinus]]te ja [[koosinus]]te) kaudu. Fourier' reaksarendus on saanud oma nime [[Joseph Fourier]]' (1768–1830) järgi, kes kasutas seda [[~~Soojusjuhtivuse~~soojusjuhtivuse võrrand~~\|soojusjuhtivuse võrrandi~~]]i lahendamiseks metallplaadis. Fourier' rida on lähedalt seotud [[Fourier' pööre\|Fourier' teisendusega]], mis esitab funktsiooni sagedusruumis. [[Fourier' pööre~~\|Fourier' pööre]]~~ muudab funktsiooni argumendiks sageduse <math> f(x) \rightarrow F(\omega)</math>. Sel juhul funktsiooni väärtus <math> F(\omega) </math> näitab vastava sageduse amplituudi esialgses funktsioonis <math> f(x) </math>. Fourier' rittaarenduses vastavad funktsiooni <math> F(\omega) </math> argumentidele, ehk sagedustele, summa erinevad liikmed ning funktsiooni <math> F(\omega) </math> väärtustele nende liikmete ees olevad kordajad. ==Definitsioon== 14. rida: :<math>F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, \left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right],</math> kus kordajad <math> a_0, a_n </math> ja <math> b_n </math> avalduvad integraalidena: <ref name="Signals and Systems" /> :<math>a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\, dx,</math> 24. rida: Kordajat <math> a_0 </math> nimetatakse ka vastava funktsiooni alaliskomponendiks, kuna integraali, millega ta on defineeritud, võib tõlgendada kui funktsiooni <math> f(x) </math> keskväärtust lõigul <math>-L \le x \le L</math>. Indeks <math> n </math> on täisarv, mis võib omada väärtuseid nullist [[lõpmatus]]eni. Trigonomeetrilise esituse eeliseks on, et see lihtsustub, kui algfunktsioon on kas [[paarisfunktsioon\|paaris-]] (funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes) või [[paaritu funktsioon]] (graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes). [[Paaritu ~~funktsioon]]i~~funktsiooni puhul on kordajad <math> a_n=0 </math> ning ~~[[paarisfunktsioon]]i~~paarisfunktsiooni puhul <math> b_n=0 </math>. ===Polaaresitus=== Polaaresitus käib faasinihestatud koosinuse kaudu: <ref name="pyQ6u" /> :<math> F(x) = x_0 + \sum_{n=1}^\infty x_n\cos(n\omega x - \phi_n), </math> 40. rida: :<math> \phi_n = \tan^{-1}\left(\frac{b_n}{a_n}\right). </math> Rida saab esitada ka [[koosinus]]te asemel ~~[[siinus]]tena~~siinustena, kuid sisulist erinevust neil kahel esitusel ei ole ning tava järgi kasutatakse ~~[[koosinus]]i~~koosinusi. Kasutades nurkade summa koosinuse valemit <math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math> saab näidata, et polaaresitus on võrdne trigonomeetrilise esitusega: 77. rida: ===Eksponentesitus=== [[Euleri valem]] ütleb, et <math> e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) </math> 101. rida: ==Näide== [[~~Image~~Pilt:Fourier Series.svg\|~~thumb\|right~~pisi\|180px\|[[Ruutlaine]] nelja esimese nullist erineva liikme Fourier' rida.]] Olgu meil <math> 2\pi </math>-perioodiline funktsioon <math>f(x)</math>, millel on lõigul <math>[-\pi,\pi]</math> väärtused :<math>f(x) = \begin{cases} -\pi, & -\pi < x < 0 \\ +\pi, & 0 < x <\pi \end{cases}</math> See on kastfunktsioon amplituudväärtusega <math> \pi </math>. Selle funktsiooni Fourier' rea trigonomeetrilise kuju leidmiseks tuleb arvutada kordajad <math> a_0,a_n,b_n </math>: :<math> \begin{align} 111. rida: &= \frac{1}{\pi} \left[ \left. -\frac{\pi}{n} \, \sin \left(n x \right)\right\|_{-\pi}^0 + \left. \frac{\pi}{n} \, \sin \left(n x\right)\right\|_0^\pi \right] = \frac{1}{n} \big[ - \sin(0) + \sin(n\pi) + \sin \left(n \pi \right) -\sin(0) \big]=0 \\ \end{align} </math> mida oleks saanud ennustada ka asjaolust, et antud funktsioon on paaritu. Samuti saab ennustada, et kordaja <math> a_0=0 </math>, sest funktsioon on pool perioodi väärtusega <math> -\pi </math> ning teine pool väärtusega <math> \pi </math>. Seega keskväärtus on null. Kordajad <math> b_n </math> tulevad:

Fourier' rida: erinevus redaktsioonide vahel