Lainevõrrand: erinevus redaktsioonide vahel

'''Lainevõrrand''' on oluline teist järku lineaarne hüperboolne [[osatuletistega diferentsiaalvõrrand]], mis kirjeldab füüsikas [[Laine|laineidlaine]]id ehk häirituste levikut keskkonnas (pillikeele võnkumine, valguse- ja helilaine levik, veelaine levik jne). Võrrandi üldkuju ühedimensionaalse juhu jaoks on:

Üldlahendiks on lahendite lineaarkombinatsioon (võrrandit rahuldavate lahendite summa). Lainel võib olla kuitahes palju allikaid ning üksikute allikate panuste liitumisel saadakse summaarne laine. Sisuliselt viitab see [[Superpositsiooniprintsiip|superpositsiooniprintsiibile]], mis on omane väljadele ja lainetele. Näide superpositsioonist on [[lainete interferents]].

[[ImagePilt:EM-Wave.gif|Elektromagnetlaine levik <math>x</math>-telje suunas. [[Elektrivälja tugevus]] muutub perioodiliselt <math>x</math>- ja <math>y</math>-teljega määratud tasandis ning [[Magnetiline induktsioon|magnetinduktsioon]] muutub perioodiliselt <math>x</math>- ja <math>z</math>-teljega määratud tasandis. [[Elektromagnetlaine]] liigub [[valguse kiirus]]ega ning laine leviku suund on ühtlasi määratud [[Poyntingi vektor]]iga.|350x350px|pisi]]

Olgu koordinaatsüsteem valitud, nii et [[Elektriväljaelektrivälja tugevus|elektrivälja tugevuse]]e <math> \boldsymbol{E} </math> ja [[Magnetiline induktsioon|magnetinduktsiooni]] <math> \boldsymbol{B} </math> vektorid oleksid suunatud vastavalt <math>y</math>- ja <math>z</math>-telje sihis. Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni väärtus sõltugu vaid koordinaadist <math>x</math> ja ajast <math>t</math>. Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni vektorite ajalise käitumise saab kirja panna järgnevalt:

Siin pole täpsustatud, milliste [[Funktsioon (matemaatika)|funktsioonidega]] on elektri- ja magnetvälja käitumine määratud. Seda oli vaja üksnes selleks, et lainevõrrandi tuletamisel meeles pidada, millistest muutujatest [[elektrivälja tugevus]] ja [[magnetinduktsioon]] sõltuvad. Kui lainevõrrand on tuletatud, siis vastavate teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamisel saavad funktsioonid <math>E(x,t)</math> ja <math>B(x,t)</math> konkreetsema kuju.

kus <math>\mu_0</math> on [[magnetiline konstant]] ehk vaakumi magnetiline läbitavus ja <math>\epsilon_0</math> on [[elektriline konstant]] ehk vaakumi dielektriline läbitavus. Nendes Maxwelli võrrandites tähistab <math>\times</math>-kujuline korrutusmärk nabla [[vektorkorrutis]]t väljavektoriga. Esimene võrrand näitab, et ajas muutuv magnetväli tekitab [[Pööriselektriväli|pööriselise elektrivälja]] ja vastupidi, ning teine võrrand näitab, et ajas muutuv elektriväli tekitab [[Pöördmagnetväli|pööriselise magnetvälja]] ja vastupidi.

[[Faraday seadus|Faraday seadusest]]est lähtuvalt saame võrduse:

Analoogse mõttekäiguga saab leida magnetinduktsiooni [[rootor|rootori]]i ja [[Ampère'i-Maxwelli seadus|Ampère'i-Maxwelli seaduse]]e:

Võtame [[Faraday seadus|Faraday seadusest]]est osatuletise koordinaadi <math>x</math> järgi ja kombineerime saadud tulemuse [[Ampère'i-Maxwelli seadus|Ampère'i-Maxwelli seadusest]]est saadud tulemusega, arvestades, et diferentsiaaloperaatorid kommuteeruvad (tuletiste võtmise järjekorra võib ümber vahetada):

:<math>\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial B}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial t} \left( -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \right) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \ \implies \ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}</math>

Tulemuseks on lainevõrrand elektrivälja jaoks. Analoogse mõttekäiguga saab tuletada teise lainevõrrandi magnetvälja jaoks. Leiame [[Ampère'i-Maxwelli seadus|Ampère'i-Maxwelli seadusest]]est osatuletise koordinaadi <math>x</math> järgi ja kombineerime saadud tulemuse [[Faraday seadus|Faraday seadusega]]ega:

Tuletatud lainevõrrandid elektri- ja magnetvälja jaoks elektromagnetlaines on erijuhud kõikvõimalikest lainetest ([[helilaine]]d, mehaanilised [[Ristlaine|ristlainedristlaine]]d vms) <math>\psi(x,t)</math>, mis liiguvad <math>x</math>-telje suunas lõpliku kiirusega <math>v</math>:

Siinused taanduvad välja ja jääb alles:

:<math>E_0 = \frac{\omega}{k}B_0 = cB_0</math>

Igal ajahetkel suhe <math>\frac{E}{B} = c</math> on konstantne ja võrdub vaguse kiirusega.

Tasalaine korral, kui elektriväljatugevuse ja magnetinduktsiooni vektorid on omavahel risti, avaldub Poyntingi vektor kujul <math>S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E^2}{\mu_0 c} = \frac{cB^2}{\mu_0} </math>. [[Poyntingi vektor|Poyntingi vektori]]i ajaline keskmistamine annab tulemuseks laine [[kiiritustihedus]]e, mis annab tähtsa tulemuse, et elektriväljatugevuse või magnetinduktsiooni vektori amplituudväärtuse ruut on võrdeline kiiritustihedusega.

kus <math> I </math> on [[kiiritustihedus]] ehk [[Intensiivsus (füüsika)|intensiivsus]]. Elektrivälja tugevuse ja magnetinduktsiooni väärtusi elektromagnetlaine jaoks vahetult mõõta ei saa, küll aga saab mõõta kiiritustihedust, mis on proportsionaalne elektrivälja tugevuse või magnetinduktsiooni vektori amplituudväärtuse ruuduga.

[[Kategooria: Diferentsiaalvõrrandid]]
[[Kategooria: Optika]]