Redaktsioon: 5. märts 2011, kell 01:37 redigeeri Margusmartsepp (arutelu \| kaastöö) 619 muudatust →‎Näited ← Vanem muudatus		Redaktsioon: 5. märts 2011, kell 14:59 redigeeri eemalda Margusmartsepp (arutelu \| kaastöö) 619 muudatust Resümee puudub Uuem muudatus →
9. rida: Kus ''n''! tähistab [[faktoriaal]]i ''n''ist ja ''ƒ''<sup> (''n'')</sup>(''a'') tähistab ''n''dat [[tuletis]]t ''ƒ''ist, mille väärtus on leitud punktis ''a''. Nullis tuletis on ''ƒ''ist on defineeritud, kui ''ƒ'' ist ja (''x'' − ''a'')<sup>0</sup> ja 0! on mõlemad defineeritud olema 1. Juhul, kui ''a'' = 0, siis polünoomi kutsutakes '''Maclaurin'i polünoomiks'''. ==Vea hinnang== '''Taylori valemi''' vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, '''Lagrange'i veahinnang''', kõlab järgmiselt. ~~Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.~~ :Kui ''n'' ≥ 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[lõik (matemaatika)\|lõigul]] [''a'', ''x''] ja ''n'' + 1 korda diferentseeruv [[vahemik (matemaatika)\|vahemikus]] (''a'', ''x''), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et▼ :<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math>▼ ==Näited== ===Eksponentfunktsioon=== Lihtne näide Taylori valemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lähendamine ''x'' = 0 juures: : <math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math> ===Koosinus kohal x=0 === Juhul, kui x=0 on tuntud ka, kui [[Colin Maclaurin\|Maclaurin]]i valem. Punktis P(0;cos(0)) on Taylori valemi esimesed 8-järku polünoomid funktsioonile:▼ n=1 = <math>\, 1+O\left(x^2\right)</math>▼ ▲Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui ''n'' ≥ 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[lõik (matemaatika)\|lõigul]] [''a'', ''x''] ja ''n'' + 1 korda diferentseeruv [[vahemik (matemaatika)\|vahemikus]] (''a'', ''x''), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et n=2 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)</math>▼ ▲<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math> n=3 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right)</math>▼ n=4 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^5\right)</math>▼ n=5 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)</math>▼ n=6 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^7\right)</math>▼ n=7 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^8\right)</math>▼ n=8 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}+O\left(x^9\right)</math>▼ :Koondjoonis: ~~<big>Kohal x=0 Taylori valemi 1-8'dat järku polünoomid funktsioonile:</big>~~ [[Pilt:TaylorCos0.png\|512px\|Pildil on näha koosinuse funktsioon hallina. Iga järgneva astme polünoom täpsustab funtsiooni punkti ja selle lähiümbruses paremini. Esimesel juhul lõikab sirge antud punktis funktsiooni, teisel juhul ta puutub seda, ning tõusunurk punktis on sama, ning mida edasi seda suuremat lähiümbruskonda polünoom hakkab kirjeldama.]] ▲Juhul, kui x=0 on tuntud ka, kui [[Colin Maclaurin\|Maclaurin]]i valem. Koosinus ▲n=1 = <math>\, 1+O\left(x^2\right)</math> ▲n=2 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)</math> ▲n=3 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right)</math> ▲n=4 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^5\right)</math> ▲n=5 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)</math> ▲n=6 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^7\right)</math> ▲n=7 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^8\right)</math> ▲*n=8 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}+O\left(x^9\right)</math> ~~:Joonis:<br>[[Pilt:TaylorCos0.png\|256px]]~~ <big>Kohal x=1 Taylori valemi 1-8'dat järku polünoomid funktsioonile:</big>

Taylori valem: erinevus redaktsioonide vahel