[[image:Set_intersection.png|thumb|right|180px|''[[Venni diagramm]]: hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa A'' ∩ ''B'' on märgistatud tumedamalt]] ▼{{ToimetaAeg|kuu=veebruar|aasta=2008}}
▲[[image:Set_intersection.png|thumb|right|180px|''[[Venni diagramm]]: hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa A'' ∩ ''B'']]
[[Matemaatika]]s on kahe [[hulk|hulga]] <i>A</i> ja <i>B</i> '''ühisosa''' ehk '''lõige''' hulk, millemis elementidekskoosneb onkõikidest kõik need ja ainult need hulgahulkade ''A'' elemendid, mis on ühtlasi hulgaja ''B'' elemendid.ühistest elementidest.
Hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa tähis ontähistatakse ''A'' ∩''B''.
==Formaalne definitsioonDefinitsioon ==
: ''x'' on hulga ''A'' ∩ ''B'' element [[siis ja ainult siis, kui]]
:* ''x'' on hulga ''A'' element [[konjunktsioon (loogika)|ja]]
:* ''x'' on hulga ''B'' element.
Hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa ''A'' ∩ ''B'' on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka ''A'' ja hulka ''B''.
Teiste sõnadega,
Sümboolselt väljendudes
:<math>A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B \}</math>, ▼
▲:<math>A \cap B = \{x \, | \, x \in A \wedge x \in B \}</math>,
kus <math>\wedge</math> tähistab [[konjunktsioon (loogika)|konjunktsioon]]i.
== Näited ==
Näiteks hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} lõige on {2, 3}. ▼
▲Näiteks* hulkadeHulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} lõigeühisosa on {2, 3}.
Arv 9 ''ei ole'' [[algarv]]ude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja [[positiivne arv|positiivsete]] [[paaritu arv|paaritute arvude]] hulga<br> ▼
▲* Arv 9 ''ei ole'' [[algarv]]ude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja [[ positiivnepaaritu arv| positiivsetepaaritute]] [[ paaritu arv|paaritute arvudenaturaalarv]] ude hulga<br>
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.
:<math>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C</math>
* [[Kommutatiivsus]]
:<math>A \cap B = AB \cap BA</math>
* [[Idempotentsus]]
:<math>A \cap A = A</math>
== Hulkade kogumi ühisosa == ▼==Rohkem kui kahe hulga ühisosa==
Võib vaadelda ka rohkem kui kahe hulga ühisosa.
KõigeÜldiselt üldisemsaab on suvaliserääkida ''mittetühja'' hulkade kogumi mõiste. ▼Näiteks hulkade <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> ja <i>D</i> '''ühisosa''' ehk '''lõige'''<br>
: <i>A</i> ∩ <i>B</i> ∩ <i>C</i> ∩ <i>D</i> = <i>A</i> ∩ (<i>B</i> ∩ (<i>C</i> ∩ <i>D</i>)).
:<math> M = \{ A_i | i \in I \} </math>
▲==Hulkade kogumi ühisosa==
▲Kõige üldisem on suvalise ''mittetühja'' hulkade kogumi mõiste.
ühisosast
Kui <b>M</b> on mitte[[tühi hulk]], mille elemendid on ise hulgad, siis <i>x</i> on hulga <b>M</b> '''lõige''' ehk '''ühisosa''' [[siis ja ainult siis, kui]] hulga <b>M</b> [[üldisuskvantor|iga]] iga elemendi <i>A</i> korral <i>x</i> on hulga <i>A</i> element.
:<math>\bigcup M \equiv \bigcup \limits_{i \in I} A_{i} </math>,
Sümbolites:
kus ''I'' tähistab mõnd [[indeksihulk]]a. Teisisõnu on hulga <math>\cup</math> <math>M</math> elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka <math>A_{i}</math>.
:<math>x \in \cap \mathbf{M} \leftrightarrow \forall A \in \mathbf{M} \quad x \in A</math>
(Mõnikord räägitakse lõikest ehk ühisosast ka juhul, kui < bmath>M</ bmath> on tühi hulk {{lisa viide}}; vaata artiklit [[Nullaarne lõige]]. ) ▼Ülalesitatud ühisosamõisted on selle mõiste erijuhud. Näiteks <i>A</i> ∩ <i>B</i> ∩ <i>C</i> on kogumi {<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>} lõige.
▲(Mõnikord räägitakse lõikest ehk ühisosast ka juhul, kui <b>M</b> on tühi hulk; vaata artiklit [[Nullaarne lõige]].)
Hulga lõike jaoks kasutatakse erinevaid tähistusi.
[[Hulgateooria|Hulgateoreetikud]] kirjutavad lihtsalt "<big>∩</big><b>M</b>", kuid enamasti kirjutatakse selleasemel "<big>∩</big><sub><i>A</i>∈<b>M</b> </sub><i>A</i>".
Analoogiliselt võib kirjutada "<big>∩</big><sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub> <i>A</i><sub><i>i</i></sub>", pidades silmas kogumi {<i>A</i><sub><i>i</i></sub> : <i>i</i> ∈ <i>I</i>} lõiget. Hulk <i>I</i> on siin mittetühi hulk ja iga <i>i</i> korral hulgast <i>I</i> on
<i>A</i><sub><i>i</i></sub> mingi hulk.
Kui [[indeksihulk]] <i>I</i> on [[naturaalarvude hulk]], võib kohata tähistust, mis sarnaneb [[lõpmatu jada|lõpmatute jadade]] korral kasutatava tähistusega:
:<math>\cap_{i=1}^{\infty} A_i</math>
Kui sellise tähistuse kasutamine on tehniliselt raske, siis võidakse selleasemel kirjutada "<i>A</i><sub>1</sub> ∩ <i>A</i><sub>2</sub> ∩ <i>A</i><sub>3</sub> ∩ ...", kuigi rangelt võttes on <i>A</i><sub>1</sub> ∩ (<i>A</i><sub>2</sub> ∩ (<i>A</i><sub>3</sub> ∩ ... mõttetu avaldis.
* [[Naiivne hulgateooria]]
* [[Ühend (matemaatika)|Ühend]]
| 