Archimedese aksioom

Archimedese aksioom ütleb: mis tahes kahe suuruse $y>x>0$ korral leidub naturaalarv $n\in \mathbb {N}$, mille korral $nx>y$.

Achimedese aksioomi näitlik esitus. Kui tahes väikest lõiku A saab piisav arv kordi iseendaga kõrvuti asetades pikendada pikemaks etteantud lõigust B

Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi.

Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks.

Reaalarvude korpuse $\mathbb {R}$ puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud.

Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses.

Archimedese aksioomi tõestus järjestatud korpuses pidevuse aksioomi põhjal

Olgu $x>0.$

Väide: Mis tahes $y>x$ korral leidub naturaalarv $n$, mille korral $nx>y$.

Vastuväide: Leidub $y>x$, mille korral $nx\leq y$ kõigi naturaalarvude $n$ korral.

Vastuväitest järeldub, et $y$ on kõikide naturaalarvude $n$ korral $nx$ ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke $y_{0}$. Kui aga $nx\leq y_{0}$ kõikide naturaalarvude $n$ korral, siis ka $\left(n+1\right)x\leq y_{0}$ ning siis ka $nx\leq y_{0}-x$ kõikide naturaalarvude $n$ korral. Ent siis on $nx$ ülemiseks tõkkeks ka $y_{0}-x$. Et $y_{0}-x<y_{0}$, siis järelikult $y_{0}$ ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus $y_{0}$ definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud.

Järeldused Archimedese aksioomist

Iga arvu $x\in \mathbb {R}$ korral leidub $n_{1},n_{2}\in \mathbb {N}$ nii, et $n_{1}>x$ ja $-n_{2}<x$. Sellest järeldub: iga $x\in \mathbb {R}$ korral leidub üheselt määratud arv $n\in \mathbb {Z}$, mille korral

$n\leq x<n+1.$

Seejuures tähistatakse arvu x täisosa $n$ tähisega $\lfloor x\rfloor$ või $\operatorname {floor} (x)$. Samuti eksisteerib üheselt määratud arv $m\in \mathbb {Z}$, mille korral

$m-1<x\leq m$;

seda tähistatakse $\lceil x\rceil$ või $\operatorname {ceil} (x)$. Seetõttu kehtib ka: mis tahes $\varepsilon >0$ korral leidub $n\in \mathbb {N}$, mille korral $n>1/\varepsilon$ ja seetõttu ka $1/n<\varepsilon$. Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel.

Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ korral leidub alati ratsionaalarv $q\in \mathbb {Q}$, mille korral $a<q<b$, ning et maturaalarvude hulk korpuses $\mathbb {R}$ ei ole ülalt tõkestatud.