Archimedese aksioom

Archimedese aksioom ütleb: mis tahes kahe suuruse korral leidub naturaalarv , mille korral .

Achimedese aksioomi näitlik esitus. Kui tahes väikest lõiku A saab piisav arv kordi iseendaga kõrvuti asetades pikendada pikemaks etteantud lõigust B

Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi.

Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks.

Reaalarvude korpuse puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud.

Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses.[1]

Archimedese aksioomi tõestus järjestatud korpuses pidevuse aksioomi põhjalRedigeeri

Olgu  

Väide: Mis tahes   korral leidub naturaalarv  , mille korral  .

Vastuväide: Leidub  , mille korral   kõigi naturaalarvude   korral.

Vastuväitest järeldub, et   on kõikide naturaalarvude   korral   ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke  . Kui aga   kõikide naturaalarvude   korral, siis ka   ning siis ka   kõikide naturaalarvude   korral. Ent siis on   ülemiseks tõkkeks ka  . Et  , siis järelikult   ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus   definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud.

Järeldused Archimedese aksioomistRedigeeri

Iga arvu   korral leidub   nii, et   ja  . Sellest järeldub: iga   korral leidub üheselt määratud arv  , mille korral

 

Seejuures tähistatakse arvu x täisosa   tähisega   või  . Samuti eksisteerib üheselt määratud arv  , mille korral

 ;

seda tähistatakse   või  . Seetõttu kehtib ka: mis tahes   korral leidub  , mille korral   ja seetõttu ka  . Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel.

Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu   korral leidub alati ratsionaalarv  , mille korral  , ning et maturaalarvude hulk korpuses   ei ole ülalt tõkestatud.

ViitedRedigeeri

  1. Eukleides. [[Elemendid (Eukleides)|]], V, definitsioon 4: "Et neil on omavahel suhe, öeldakse suuruste kohta, mis mitmekordistatutena üksteist ületavad."