Ava peamenüü

Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene[1]. Sellisteks valemiteks on näiteks [2], [1] või . On selge, et iga samaselt tõene valem on kehtestatav, kuid vastupidine järeldumine alati ei kehti. Üks näide kehtestavast lausearvutuse valemist on valem, mis ei ole samaselt tõene ega samaselt väär. Kontrollimaks, kas uuritav valem on kehtestav on mitmeid võimalusi– näiteks tõeväärtustabel või tõesuspuu.

DefinitsioonRedigeeri

Lausearvutuse valemit   nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene[1].

Sõna "kehtestatav valem" kirjutamisel üks tüüpilisemaid vigu on kirjutada "kehtestav valem", kuid sõna õige kirjapilt on neist vaid esimene[3].

SeosedRedigeeri

  • Iga samaselt tõene lausearvutuse valem on kehtestatav.
  • Kui lausearvutuse valem ei ole samaselt tõene ega samaselt väär, siis on tegu kehtestatava valemiga[2].
  • Lausearvutuse valem on kehtestatav parajasti siis, kui tal leidub täielik disjunktiivne normaalkuju[2].
  • Kui lausearvutuse valem ei ole kehtestatav, siis ta on samaselt väär– kui lausearvutuse valem ei ole kehtestatav, siis ta ei ole tõene mitte ühelgil väärtustusel ehk valem on väär igal väärtutusel.

Kontrollimine tõeväärtustabeligaRedigeeri

Kontrollimaks kas lausearvutuse valem   on kehtestatav koostame tõeväärtustabeli. Kirjutame esmalt päisesse lausemuutujad   ja   ning seejärel lausearvutuse tehted prioriteedi järjekorras (tehete prioriteet kõrgeimast madalaimani on:  ). Kahe muutuja korral on neli võimalikku tõeväärtuste kombinatsiooni, kolme muutuja puhul kaheksa. Need sisestamegi muutujate   ja   tõeväärtuste veergudesse ning seejärel täidame tabeli ülejäänud veerud, arvestades lausearvutustehteid.

 

Näeme, et ainult tabeli esimeses reas, kuuendas veerus on valemil   tõeväärtus 0 ehk väär. Antud veeru ülejäänud kolmes reas on väärtus 1 ehk tõene. Saime, et valem   on vähemalt ühel väärtustusel tõene ehk tegu on kehtestatava valemiga.

Kontrollimine tõesuspuugaRedigeeri

Kehtestatavuse kontrollimiseks kirjutame tõesuspuu algusse   (  tähistab uuritavat lausearvutuse valemit). Kui leidub haru, kus vastuolu ei teki, siis valem on kehtestatav.

Koostame tõesuspuu tingimusest   lähtudes. Tõesuspuu algusesse paneme kirja rea   ja hakkame uurima, millistel juhtudel selline asi on võimalik. Esmalt leiame valemis üles peatehte ja osavalemid, mida see peatehe seob. Antud juhul on peatehteks disjunktsioon ( ) ning osateheteks eitused ( ) ning implikatsioon ( ). Leiame toodud osavalemite tõeväärtused, mille korral   on tõene. Lausearvutuse osatehete analüüsimisel kasutame elementaarsamme. Kui selliseid tõeväärtuste komplekte on üks, siis kirjutame need üksteise alla. Kui neid on mitu, siis tekib meil puule kaks allapoole hargnevat haru. Edasi jätkame harude analüüsimist sama skeemi alusel, kuni jõuame välja lausemuutujateni  ja  . Kui puu mingis harus tekib vastuolu (s.t. selles harus esineb mingi valem tõese ja väärana), siis ütleme, et see haru on vastuoluline ehk suletud ja kirjutame selle alla märgi ×. Vastasel korral ütleme, et haru on avatud[2].


 

Antud tõeväärtuspuus on kõik tehteid sisaldavad osavalemid elementaarsamme kasutades läbi vaadatud ja mitte kummaski harus me ei jõudnud vastuoluni ehk mõlemad harud on avatud. Kuna leidub haru, milles vastuolu ei teki, siis valem   on kehtestatav.

Teoreem kehtestatava valemi eitusestRedigeeri

Teoreem 1. Valem   on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus   ei ole samaselt tõene[1].

Tõestus. Kui   on kehtestatav, siis väärtustusel, kus   on tõene, on valem   väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Vastupidiselt, kui   ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus   on väär ja   järelikult tõene[1].

Näide. Jaotises "kontrollimine tõeväärtustabeliga" näitasime, et valem   on kehtestatav. Kontrollime nüüd tõeväärtustustabeliga väidet, kas selle lause eitus  on samaselt tõene.
 

Valem  oleks samaselt tõene kui tõeväärtustabelis oleks seitsmenda veeru kõigis ridades tõeväärtus 1. See nii ei ole ning oleme saanud, et valem   ei ole samaselt tõene, mis on kooskõlas teoreemiga 1.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Reimo Palm, Rein Prank (2014). Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse. Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus. Lk 14. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Tartu Ülikooli kursuse "Diskreetse matemaatika I" loengukonspekt, lektor Valdis Laan.
  3. Reimo Palm. "Tüüpilisi kirjavigu". Vaadatud 07.05.2019.