Kasutaja:Askella/Hamiltoni formalism

Hamiltoni formalism e. Hamiltoni mehaanika on klassikalise mehaanika ümbersõnastus, mille 1833 lõi iiri matemaatik William Rowan Hamilton.

Hamiltoni mehaanika on tuletatud temale eelkäivast Lagrange'i mehaanikast ning tema põhieeliseks on dünaamilise süsteemi kahedimensionaalse faasiruumi kasutuselevõtt n-dimensiionaalse koordinaatruumi asemele.

Vähima mõju printsiip

Hamiltoni formalism püsib vähima mõju printsiibil (samuti tuntud mõju statsionaarsuse printsiibi nime all). See printsiip on kutsutud dünaamilise süsteemi tegeliku liikumise eristamiseks kõikvõimalikest kinemaatiliselt võimalikest liikumistest antud seoste juures.

Hamiltoni vähima mõju printsiip on matemaatiliselt avaldatav kujul

$\int _{t_{0}}^{t}[\delta T+\sum _{j=1}^{s}Q_{j}\delta q_{j}]\,dt=0$

kus $\delta T$ on süsteemi kineetilise energia muutus, $Q_{j}$ on üldistatud jõud, $q_{j}$ on üldistatud koordinaadid ning nende korrutiste summa on süsteemile rakendatud jõudude töö.

Erijuhul kui süsteemile mõjuvad ainult konservatiivsed jõud, printsiibi kujuks saab

$\int _{t_{0}}^{t}\delta (T-U)\,dt=0$

Kineetilise ja potentsiaalse energia vahet $T-U$ nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks e. kineetiliseks potentsiaaliks ning tähistatakse tähega $L$.

Tegeliku liikumise paika panemise põhitingimuseks on siis

$\delta \int _{t_{0}}^{t}L\,dt=\delta S=0$

ehk mõjufunktsionaali $S$ statsionaarsus.

Hamiltoni kanoonilised võrrandid

Hamiltoni kanoonilised võrrandid on saadud Lagrange'i II tüüpi võrrandite ümberkirjutamise teel. Nende lõppkuju on

${\dot {q_{k}}}={\frac {\delta H}{\delta p_{k}}}$ ${\dot {p_{k}}}=-{\frac {\delta H}{\delta q_{k}}}$

kus $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ on üldistatud impulsside komplekt, $q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})$ on üldistatud koordinaatide komplekt ning täpp $.$ tähendab tuletise võtmist aja järgi.

Funktsioon $H$ nendes võrrandites kannab Hamiltoni funktsiooni e. hamiltoniaani nime ning selle sisuks on dünaamilise süsteemi koguenergia. Hamiltoniaani võib kasutada nii lihtsate (nt. võnkuv pendel, ostsillaator, hüplev pall), kui ka keeruliste süsteemide (taeva- ja kvantmehaanika puhul) kirjeldamiseks.

Statsionaarsuse tingimustes (s.t. välisjõud masspunktide süsteemi kallal tööd ei tee) $H=H(p,q)$ ning tema füüsikaliseks tähenduseks on mehaanikaline energia:

$H=T+U$

Kvantmehaaikas Hamiltoni funktsioon kujutab endast dispersiooniseadust

$\omega =H(k,x)$,

kuna sagedus $\omega$ ning lainevektor $k$ on teatavasti energia ja impulsi põhikarakteristikud.

Hamiltoni võrrandite kasutusviis

Liikumisvõrrandi leidmiseks läbitakse järgmisi samme:

1. leitakse Lagrange'i funktsiooni $L=T-U$ üles;
2. diferentseerides Lagrangiani $L$ üldistatud kiiruste ${\dot {q}}_{i}$ järgi saadakse üldistatud impulsid $p_{i}$ kätte: $p_{i}={\frac {\delta L}{\delta {\dot {q}}_{i}}}$;
3. eelmises punktis saadud impulsi avaldisest saadakse üldistatud kiiruste avaldisi;
4. tuletatakse energia $H$ avaldist vastavalt valemile $H=\sum _{j}{\dot {q}}_{j}p_{j}-L$;
5. kasutades Hamiltoni kanoonilisi võrrandeid tehakse kindlaks süsteemi liikumisviisi.

Näide

Üheks baasnäidiseks Hamiltoni mehaanika ülesannetest on harmoonilise ostsillaatori näidis.

Oletagem, et süsteem massiga m võngub potentsiaalväljas. Selle süsteemi kineetilise energia avaldiseks on siis $T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$ ning potentsiaalse energia avaldiseks on $U={\frac {1}{2}}kx^{2}$.

Seega Lagrange'i funktsiooni ilme saab automaatselt valmis: $L(x,{\dot {x}})=T-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}$.

Järgmise sammuna leiame üldistatud impulssi:

$p={\frac {\delta L}{\delta {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$

Siit saame üldistatud kiiruse avaldist:

${\dot {x}}={\frac {p}{m}}$

Nüüd saab hamiltoni funktsiooni kirja panna:

$H(x,p)={\dot {x}}p-L(x,{\dot {x}})$

$={\frac {p}{m}}p-({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2})$

$={\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$

Kuna nüüd harmoonilise ostsillaatori hamiltoniaan on leitud, saame kasutada hamiltoni kanoonilisi võrrandeid süsteemi liikumisseaduse tuletamiseks:

${\dot {x}}={\frac {\delta H}{\delta p}}\Leftrightarrow {\dot {x}}={\frac {p}{m}}$

${\dot {p}}=-{\frac {\delta H}{\delta x}}\Leftrightarrow {\dot {p}}=-kx$

Kahe viimase tulemuse kombeneerimisel saame harmoonilise ostsillaatori võrrandit: $m{\ddot {x}}=-kx$.

Poissoni sulud

Olgu antud kaks funktsiooni F = F(q,p,t) ning G = G(q,p,t). Koostame nende jaoks Poissoni sulgude avaldist:

$\left\{F,G\right\}=\sum _{j=1}^{s}\left({\frac {\delta F}{\delta q_{j}}}{\frac {\delta G}{\delta p_{j}}}-{\frac {\delta F}{\delta p_{j}}}{\frac {\delta G}{\delta q_{j}}}\right)$

Vastavalt sellele avaldisele Hamiltoni kanoonilised võrrandid saab ümber kirjutada järgmisel viisil:

${\dot {q}}=\left\{q,H\right\}$ ${\dot {p}}=\left\{p,H\right\}$

Poissoni sulgude kasutuselevõtt teeb mitmeid lihtsustusi Hamiltoni mehaaika ülesannete lahendamisele. Mõned toetavad näited sellest:

• olgu antud Hamiltoni kanooniliste võrrandite süsteemi integraalid $\alpha (q,p,t)=a$ ja $\beta (q,p,t)=b$. Siis ka $\left\{\alpha ,\beta \right\}=c$ on selle süsteemi liikumisintegraal.

• füüsikaline suurus A , mis ajast ilmselt ei sõltu , on jääv siis ja ainult siis, kui ta kommuteerub hamiltoniaaniga H:

 ${\frac {dA}{dt}}=0\Leftrightarrow \left\{H,A\right\}=0$

• suvalise füüsikalise suuruse $B=B(q,p,t)$ muutumise kiirus on antav valemiga

 ${\frac {dB}{dt}}={\frac {\delta B}{\delta t}}+\left\{H,B\right\}$

ja muud teised.

Poissoni sulud mängivad eriti tähtsat rolli Hamiltoni formalismi kvantmehaanilises rakenduses.

Viited

• James Binney Classical Mechanics.
• David Tong Classical Dynamics.