Topoloogiline ruum: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
Resümee puudub |
||
27. rida:
Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga <math>X</math>, <math>\tau</math> ja <math>\kappa</math> korral <math>(X; \tau)</math> on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning <math>\kappa</math> on ruumi <math>(X; \tau)</math> kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui <math>(X; \kappa)</math> on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning <math>\tau</math> on ruumi <math>(X; \kappa)</math> kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.
==Näiteid==
===Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia===
Olgu <math>X</math> mistahes mittetühi hulk. Siis <math>\{\empty; X\}</math> on topoloogia hulgal <math>X</math>. Seda topoloogiat nimetatakse '''triviaalseks topoloogiaks''' hulgal <math>X</math>. Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal <math>X</math>.
Samamoodi on mistahes mittetühja hulga <math>X</math> korral hulk <math>2^X</math> (hulga <math>X</math> kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal <math>X</math>; teda nimetatakse '''diskreetseks topoloogiaks''' hulgal <math>X</math>. Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal <math>X</math>.
===Meetriline ruum topoloogilise ruumina===
Olgu <math>(X; \rho)</math> [[meetriline ruum]]. Tähistame <math>B(a, r)</math> abil lahtist kera keskpunktiga <math>x</math> ja raadiusega <math>r</math>, s. o. <math>B(a, r) := \{ x \in X \ |\ \rho(x, a) < r \}</math> iga <math>a \in X, r > 0</math> korral. Siis <math>\{ U \subset X\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, r > 0 \ : \ B(a, r) \subset U\}</math> on topoloogia hulgal <math>X</math> — see on [[kauguse]] <math>\rho</math> poolt määratud topoloogia hulgal <math>X</math>.
Kaks erinevat meetrikat ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia.
Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle ruumi topoloogia, nimetatakse '''metriseeruvaks''' topoloogiliseks ruumiks.
===Loomulik topoloogia hulkadel <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>===
Arvuhulgad <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\mathbb{N}</math> on meetrilised ruumid ''loomuliku kauguse'' <math>\rho(x, y) := | x - y |</math> suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse '''loomulikuks topoloogiaks''' vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga <math>\mathbb{R}</math> loomulik topoloogia on väljakirjutatuna <math>\{ U \subset X\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, \epsilon > 0 \ : (a-\epsilon, a+\epsilon) \subset U\}</math>. Hulga <math>\mathbb{N}</math> loomulik topoloogia osutub diskreetseks topoloogiaks.
[[Kategooria:Matemaatika]]
[[en:Topological space]]
| |||