Funktsioon (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
P pisitoimetamine |
|||
1. rida:
{{ToimetaAeg|kuu=veebruar|aasta=2011}}
'''Funktsioon''' ehk '''kujutus'''<ref>
Funktsiooni mõistel on keskne koht peaaegu kõikides [[matemaatika]] harudes ja [[kvantitatiivsed meetodid|kvantitatiivseid meetodeid]] kasutavates [[teadusharu]]des.
Funktsiooni mõistele on lähedased [[teisendus]]e ja [[operaator (matemaatika)|operaator]]i mõiste.
==Definitsioon==
Funktsioon on "masin", mis teisendab mis tahes korrektse [[sisend]]i üheksainsaks [[väljund]]iks. Näiteks ''f''(''x'')=''x''<sup>
===Formaalne definitsioon seose kaudu===
26. rida:
==Ajalugu==
Matemaatikas võttis termini "funktsioon" kasutusele [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] (aastal [[1694]]), et rääkida [[kõver]]aga seotud [[suurus]]test, näiteks kõvera [[tõus (matemaatika)|tõus]]ust. Tänapäeva matemaatilises kõnepruugis öeldakse, et funktsioonid, mida Leibniz vaatles, on [[diferentseeruv funktsioon|diferentseeruvad]]. Mittematemaatikud puutuvad kõige sagedamini kokku just selliste funktsioonidega. Sääraste funktsioonide puhul saab rääkida [[piirväärtus]]test ja [[tuletis (matemaatika)|tuletis]]test. Mõlemad mõõdavad sisendväärtuste muutusega kaasnevat väljundväärtuste muutust. Need konstruktsioonid on aluseks [[matemaatiline analüüs|matemaatilisele analüüsile]].
Sõna "funktsioon" kasutas hiljem ([[18. sajand]]i keskel) [[Leonhard Euler]] argumentidega [[avaldis]]te ja valemite kohta, näiteks ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''<sup>3</sup>.
[[19. sajand]]il hakkasid matemaatikud kõiki matemaatikaharusid formaliseerima. [[Karl Weierstrass]] pooldas matemaatilise analüüsi rajamist [[aritmeetika]]le, mitte [[geomeetria]]le, mistõttu Euleri definitsiooni eelistati Leibnizi omale (vaata [[matemaatilise analüüsi aritmetiseerumine]]).
Funktsiooni mõiste laiendamine võimaldas matemaatikutel uurida sääraseid veidraid matemaatilisi objekte nagu [[pidev funktsioon|pidevaid funktsioone]], mis ei ole kuskil diferentseeruvad. Algul peeti neid lihtsalt teoreetilisteks kurioosumiteks ning veel 19. ja [[20. sajand]]i vahetusel nimetati neid monstrumiteks. Hiljem leiti, et sellised funktsioonid on kasulikud [[Browni liikumine|Browni liikumise]] taoliste [[füüsika]]liste nähtuste [[modelleerimine|modelleerimisel]].
Dirichlet' definitsiooni järgi on funktsioon [[seos (matemaatika)|seos]]e erijuht. Enamiku praktiliste rakenduste puhul ei mängi erinevused Euleri ja Dirichlet' definitsiooni vahel peaaegu mingit rolli.
92. rida:
siis saab rääkida funktsiooni
<var>f</var> kompositsioonist iseendaga; mõnikord märgitakse seda nii:
<var>f</var><sup> 2</sup>. (Sel juhul ei peeta silmas funktsiooni väärtuse korrutist iseendaga nagu näiteks avaldises cos² ''x''.)
===Määramispiirkond ja muutumispiirkond===
Funktsiooni ''f'' sisendväärtuste hulka ''X'' nimetatakse funktsiooni ''f'' [[määramispiirkond|määramispiirkonnaks]]. Funktsiooni ''f'' [[muutumispiirkond]] on tegelike väljundite hulk {''f''(''x'') : ''x'' on määramispiirkonna element}.
[[Informaatika]]s määravad funktsiooni ([[alamprogramm]]i) määramispiirkonna argumentide [[andmetüüp|andmetüübid]] ning võimalike väärtuste hulga [[tagastusväärtus]]e andmetüüp. Seega on muutumispiirkond ja võimalike väärtuste hulk piirangud, mis funktsiooniga algusest peale seostatakse.
===Funktsiooni graafik===
[[Pilt:X cubed (narrow).svg|
Funktsiooni ''f'' [[graafik]] on kõikide [[järjestatud paar]]ide (''x'', ''f''(''x'')) hulk, kus ''x'' on [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] ''X'' element.
On [[teoreem]]e, mida on kõige lihtsam sõnastada ja tõestada graafiku mõiste kaudu, näiteks [[kinnise graafiku teoreem]].
108. rida:
===Kujutised ja algkujud===
Elemendi ''x''∈''X'' [[kujutis (matemaatika)|kujutis]] funktsiooni ''f'' korral on väljund ''f''(''x'').
Alamhulga <var>A</var>⊂''X'' kujutis funktsiooni ''f'' korral on hulga ''Y'' alamhulk, mis defineeritakse nii:
115. rida:
Funktsiooni ''f'' muutumispiirkond on selle määramispiirkonna kujutis ''f''(''X''). Ülaltoodud funktsiooni puhul on hulga {2,3} kujutis funktsiooni ''f'' korral ''f''({2, 3}) = {c, d} ja funktsiooni ''f'' muutumispiirkond on {a, c, d}.
Siintoodud definitsiooni järgi tuleb välja, et kujutis ''f'' on funktsioon, mille määramispiirkond on hulga ''X'' kõikide alamhulkade hulk (ehk hulga ''X'' [[astmehulk]]) ja mille võimalike väärtuste hulk on hulga ''Y'' astmehulk. Algsel funktsioonil ''f'' ja kujutisel on sama tähistus. Kontekstist tuleb aru saada, mida silmas peetakse.
Hulga <var>B</var> ⊂ <var>Y</var> algkuju funktsiooni ''f'' korral on hulga <var>X</var> alamhulk, mis defineeritakse nii:
132. rida:
*<var>f</var><sup> −1</sup>(<var>f</var>(<var>A</var>)) ⊇ <var>A</var>.
Need seosed kehtivad määramispiirkonna suvaliste alamhulkade ''A'', ''A''<sub>1</sub> ja ''A''<sub>2</sub> ning võimalike väärtuste hulga suvaliste alamhulkade ''B'', ''B''<sub>1</sub> ja ''B''<sub>2</sub> korral.
Kujutiste ja algkujude seosed [[ühisosa]]de ja [[ühend]]itega kehtivad mitte ainult alamhulkade paaride, vaid alamhulkade mis tahes [[kogum]]ite korral.
143. rida:
===Mitme muutuja funktsioonid===
Rakendustes on sageli tarvis '''mitme muutuja funktsioone''': nende väärtused sõltuvad mitmest eri tegurist. Matemaatika nõuab, et funktsionaalses seoses (funktsionaalses sõltuvuses) oleksid kõik sõltumatud muutujad välja toodud: "varjatud" tegurid ei ole lubatud.
Matemaatika seisukohast ei ole ühe ja mitme muutuja funktsioonidel põhimõttelist erinevust: näiteks kolme [[reaalarv]]ulise muutuja funktsiooni saab vaadelda reaalarvude [[järjestatud kolmik]]ute funktsioonina. Järgmises lõigus öeldakse sedasama formaalsemas keeles.
Kui funktsiooni määramispiirkond on <var>n</var> hulga [[otsekorrutis]]e [[alamhulk]], siis nimetatakse seda funktsiooni '''<var>n</var>-aarseks funktsiooniks''' ehk '''<var>n</var> muutuja funktsiooniks'''.
Näiteks seose ''dist'' määramispiirkond on
Sellistel juhtudel ei kirjutata tavaliselt mitte ''dist''((<var>x</var>,<var>y</var>)), vaid lihtsalt ''dist''(<var>x</var>,<var>y</var>).
Mõnda liiki mitme muutuja funktsioone nimetatakse [[tehe]]teks. [[Abstraktne
===Mitmeväärtuseline funktsioon ja osaline funktsioon===
Seos hulkade ''X'' ja ''Y'' vahel, mille puhul on täidetud tingimus (1), on '''[[mitmeväärtuseline funktsioon]]'''. Iga funktsioon on mitmeväärtuseline funktsioon, kuid iga mitmeväärtuseline funktsioon ei ole funktsioon.
Seos hulkade ''X'' ja ''Y'' vahel, mille puhul on täidetud tingimus (2), on '''[[osaline funktsioon]]'''. Iga funktsioon on osaline funktsioon, kuid iga osaline funktsioon ei ole funktsioon.
Vaatame järgmist kolme näidet:
176. rida:
*Igal inimesel on lemmikvärv järgmise 6 värvi hulgast: punane, oranž, kollane, roheline, sinine, lilla. Lemmikvärv on inimese funktsioon. Näiteks Jaani lemmikvärv on punane ja Tiina lemmikvärv on lilla. Sisendiks on siin inimene ja väljundiks on üks 6 värvist.
*Lapsed müüvad suvel limonaadi. Müüdud limonaadi hulk pudelites mingil päeval on selle päeva maksimaalse õhutemperatuuri funktsioon. Näiteks kui temperatuur on 22 kraadi, siis nad müüvad 10 pudelit limonaadi, ja kui temperatuur on 26 kraadi, siis nad müüvad 25 pudelit limonaadi.
*Mingit kivi visatakse alla kõrghoone eri korrustelt. Aeg, mille jooksul kivi maapinnani jõuab, on korruse funktsioon. Näiteks kukub kivi kolmandalt korruselt 2 sekundit ja 11. korruselt 4 sekundit.
"Eeskirja", millega funktsioon on määratud, saab väljendada [[valem]]i ([[funktsiooni üldavaldis]]e abil, seose abil või lihtsalt tabeli abil, mis loetleb sisendid ja neile vastavad väljundid.
Funktsiooni kõige iseloomulikum omadus on see, et ta on [[determinism|deterministlik]]: samale sisendile vastab alati sama väljund. Seetõttu võib funktsiooni kujutleda "[[masin]]ana" või "[[must kast|musta kastina]]", mis muundab [[lubatavus|lubatava]] sisendi üheselt määratud väljundiks. Sisendit nimetatakse sageli funktsiooni [[argument (matemaatika)|argumendiks]] ning väljundit funktsiooni [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]eks.
Kõige tavalisemal juhul on nii argument kui ka funktsiooni väärtused [[arv]]ud, funktsionaalset seost ([[funktsionaalne sõltuvus|funktsionaalset sõltuvust]]) väljendatakse valemiga ning funktsiooni väärtuse saamiseks [[asendamine|asendatakse]] argument otseselt valemisse. Vaatame näiteks funktsiooni
:<math>f(x)=x^{2}</math>,
mis seab igale arvule ''x'' vastavusse selle arvu [[ruut (aritmeetika)|ruudu]].
Funktsiooni mõistet saab üldistada nii, et funktsioon võib sõltuda mitmest argumendist. Näiteks
191. rida:
on funktsioon, mis võtab kaks arvu ''x'' ja ''y'' ning seab neile vastavusse nende korrutise ''xy''. Võib paista, nagu sel juhul poleks tegemist funktsiooniga ülalkirjeldatud mõttes, sest see "eeskiri" sõltub kahest sisendist. Ent kui me võtame need kaks sisendit kokku üheksainsaks [[järjestatud paar]]iks (''x'', ''y''), siis me võime tõlgendada asja nii, et ''g'' on funktsioon, mille argument on järjestatud paar (''x'', ''y'') ning mille väärtus on ''xy''.
Teaduses on sageli tegemist funktsioonidega, mis ei ole esitatud valemitega. Võtame näiteks temperatuuri jaotuse maapinnal eri aegadel: see on funktsioon, mille argumentideks on koht ja aeg ning mis annab väljundiks temperatuuri antud kohas antud hetkel.
Nägime, et intuitiivne funktsioonimõiste ei piirdu arvutustega, mis kasutavad üksikuid arve, ega üldse arvutustega. Matemaatiline funktsioonimõiste on veel üldisem ega piirdu olukordadega, kus on tegemist arvudega. Funktsioon seob oma [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] (sisendite [[hulk|hulga]]) oma võimalike väljundite hulgaga nõnda, et igale määramispiirkonna elemendile seatakse vastavusse täpselt üks element võimalike väljundite hulgast. Allpool näeme, kuidas funktsioone abstraktselt defineeritakse [[seos (matemaatika)|seos]]te kaudu. Nii üldiselt mõistetud funktsioon on fundamentaalne mõiste peaaegu kõikides matemaatika harudes.
201. rida:
* Seos [[naturaalarv]]ude <var>n</var> ja nende [[ruut (aritmeetika)|ruut]]ude vahel.
* Seos ''ln'' [[positiivne arv|positiivsete]] [[reaalarv]]ude <var>x</var> ja nende [[naturaallogaritm]]ide ln(<var>x</var>) vahel. Seos reaalarvude ja nende naturaallogaritmide vahel ei ole funktsioon, sest igal reaalarvul ei ole naturaallogaritmi; teiste sõnadega, see seos ei ole täielik.
* Seos ''dist'' [[tasand]]i
Kõige tavalisemate matemaatiliste funktsioonide seas on [[liitmine]], [[jagamine]], [[astendamine]], [[logaritm]]id, [[korrutamine]], [[polünoom]]id, [[juur (arutmeetika)|juur]]ed, [[lahutamine]] ja [[trigonomeetrilised funktsioonid]]. Mitteelementaarfunktsioonid ([[erifunktsioonid]]) on näiteks [[Besseli funktsioon]]id ja [[gammafunktsioon]]id.
211. rida:
*[[Operaator (matemaatika)|Operaator]]
*[[Tehe]]
* [[antitoonne kujutus]] (''antitone mapping'')
* [[biholomorfne kujutus]] (''biholomorphic mapping'')
240. rida ⟶ 239. rida:
== Viited ==
{{viited}}
[[Kategooria:Matemaatika]]
| |||