Baas (topoloogia): erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
4. rida:
Baasi mõiste on üks [[topoloogia]] põhimõisteid. Paljudes küsimustes, mis puutuvad mingi ruumi lahtistesse hulkadesse, on piisab piirduda selle ruumi baasi elementide vaatlemisega.
Sageli esitatakse topoloogia baas selleks, et topoloogiat ''defineerida''. Näiteks [[meetriline ruum|meetrilisel ruumil]] defineeritakse topoloogia baasi kaudu, mille moodustavad kõik [[lahtine kera|lahtised kerad]].
== Omadused ==
Topoloogilisel ruumil võib olla palju baase. Suurim neist on kõigi lahtiste hulkade hulk. Teispidiselt ei vasta ühele baasile mitu topoloogiat. Seega vastab igale baasile unikaalne topoloogia. Viimane omadus võimaldab topoloogiaid defineerida baasi määratlemise kaudu.
Baaside kaks olulist omadust on:
# Baas ''[[hulga kate|katab]]'' hulga <math>X</math>.
# Olgu <math>B_2</math>, <math>B_2</math> baasi elemendid ja <math>I</math> nende ühisosa, siis iga punkti <math>x \in I</math> jaoks leidub baasi element <math>B_3</math>, mis kuulub ühisossa <math>I</math> ja mis sisaldab punkti <math>x</math>.
Ükski <math>X</math> alamhulkade kogum, mis ei rahulda üht ülaltoodud tingimiustest ei saa olla ühegi <math>X</math> topoloogia baas. Teistpidiselt, kui mõni <math>X</math> alamhulkade kogum <math>B</math> rahuldab ülaltoodud tingimusi, siis leidub üheselt määratud topoloogia hulgal <math>X</math>, mille baasiks on <math>B</math>. Sellise baasi määratlemine on väga tavapärane viis topoloogiate defineerimiseks. Märkigem veel, et piisav ((kuid mitte tarvilik) on nõuda, et <math>B</math> oleks suletud ühisosade võtmise suhtes. Sel juhul saab teine ülaltoodud tingimustest alati täidetud, sest võib vaida <math>B_3 = I</math>.
== Näited ==
* Kui <math>X</math> ja <math>Y</math> on topoloogilised ruumid topoloogiate baasidega <math>\mathfrak{B}_X</math> ja <math>\mathfrak{B}_Y</math>, siis topoloogia ruumide [[topoloogiliste ruumide korrutis|korrutis]]el <math>X\times Y</math> antakse baasi
: <math>\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}</math> abil.<br />Seejuures ei sõltu topoloogia ruumil <math>X\times Y</math> sellest, milliseid ruumide X ja Y baase kasutatakse topoloogia defineerimiseks. Niisugust topoloogiat nimetatakse topoloogiliste ruumide korrutise (standardseks) topoloogiaks.
19. rida ⟶ 29. rida:
[[Kategooria:Topoloogia]]
[[ca:Base (topologia)]]
[[cs:Báze topologického prostoru]]
[[de:Basis (Topologie)]]
[[es:Base (topología)]]
[[fa:پایه برای توپولوژی]]
[[fr:Base (topologie)]]
[[ko:기저 (위상수학)]]
[[it:Base (topologia)]]
[[he:בסיס (טופולוגיה)]]
[[nl:Basis (topologie)]]
[[pl:Baza przestrzeni topologicznej]]
[[pt:Base (topologia)]]
[[ro:Bază (spațiu topologic)]]
[[ru:База топологии]]
[[sv:Bas (topologi)]]
[[uk:База топології]]
[[zh-classical:基 (拓撲)]]
[[zh:基 (拓撲學)]]
| |||