Vikipeedia

Fibonacci jada: erinevus redaktsioonide vahel

Sirvi ajalugu interaktiivselt
← Vanem muudatusUuem muudatus →
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
VisuaalneVikitekst
Xqbot (arutelu | kaastöö)
Robotid
101 822 muudatust
P robot lisas: ga:Seicheamh Fibonacci
Hardi27 (arutelu | kaastöö)
4520 muudatust
Resümee puudub
1. rida:
{{ToimetaAeg|kuu=juuli|aasta=2008}}{{keeletoimeta}}
[[Pilt:Fibonacci continuous.png|right|222px|thumb|]]
[[Pilt:FibonacciBlocks.svg|right|222px|thumb|]]
[[Pilt:Fibonacci spiral 34.svg|right|222px|thumb|]]
[[Pilt:Missing Square Animation.gif|right|222px|thumb|]]
[[Pilt:FibbonacciRecurisive.png|right|222px|thumb|]]
 
'''Fibonacci jada''' on [[arv]]ude [[jada]], mille kaks esimest [[element (matemaatika)|elementi]]liiget on vastavalt F<sub>1</sub>=0 ja ''F''<sub>2</sub>=1 ning iga järgminejärgnev elementliige on kahe eelmiseeelneva liikme summa. Esimesed Fibonacci jada liikmed on
Matemaatiliselt kirjeldab seda rida kus rea liikmed (''F''<sub>n</sub>) on määratud järgnevalt:
:<math>
F_n =
\begin{cases}
0 & \mbox{kui } n = 0; \\
1 & \mbox{kui } n = 1; \\
F_{n-1}+F_{n-2} & \mbox{kui } n > 1. \\▼
\end{cases}
</math>
 
:<math>0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots.</math>▼
Looduses esinevad Fibonacci arvud näiteks taimede ehituses - et kõik lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt, näiteks kui vaadata, mitu lehte on kahe kohakuti lehe vahel, siis on see tavaliselt Fibonacci arv. Sama toimib ka käbi kihtide puhul.▼
(loetelu jada 500'st esimesest elemendist võid leida [[Kasutaja:Margusmartsepp/kasutajaartiklid/Fibonacci arvud|siit]])▼
 
Matemaatiliselt väljendudes võb Fibonacci jada {''F''<sub>n</sub>} defineerida [[rekkurrentne seos|rekurrentse seosega]]
▲: <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} &, \mbox{kui,</math> } n > 1. \\
mis lahendatakse [[algtingimus]]tel
: <math>F_0 = 0, \quad F_1 = 1. \,</math>
 
== Ajalugu ==▼
Fibonacci jada moodustavad arvud:
 
Fibonacci arvudTeadaolevalt esinevad esimestFibonacci korda teadaolevaltarvud esmakordselt ''mātrāmeru'' nime all sansritikeelses[[sanskrit]]ikeelses käsikirjas [[Pingala]] (''Chandah-shāstra'', "Prosoodia kunst", [[450|450 e.m.a]] või [[200|200 e.m.a]]).▼
▲:<math>0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots.</math>
▲(loetelu jada 500'st esimesest elemendist võid leida [[Kasutaja:Margusmartsepp/kasutajaartiklid/Fibonacci arvud|siit]])
 
Aastal [[1202]] tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia [[matemaatik]] [[Pisa Leonardo]] ehk [[Fibonacci]]{{lisa viide}}.▼
 
== Üldkuju ==
Eristatakse ka '''[[Édouard Lucas|Lucas]]' jada''', milles samamoodi on iga liige kahe eelneva summa, kuid rida ise on teistsugune: ▼
:<math>2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots.</math>▼
 
Fibonacci arvud on tihedalt seotud [[kuldlõige|kuldlõikega]] <math>\varphi</math> — kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv alati ligikaudu <math>1/\varphi \approx 0,618</math> korda väiksem ning järgnev arv on <math>\varphi \approx 1,618</math> korda suurem. Viimane asjaolu väljendub selles, et Fibonacci jada on väljendatatav kujul
 
: <math>F_{n} = \frac{\varphi^{n} - (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^{n} - (1-\varphi)^{n}}{\sqrt{5}},</math>
▲==Ajalugu==
▲Fibonacci arvud esinevad esimest korda teadaolevalt ''mātrāmeru'' nime all sansritikeelses käsikirjas [[Pingala]] (''Chandah-shāstra'', "Prosoodia kunst", [[450|450 e.m.a]] või [[200|200 e.m.a]]).
 
kus <math>\varphi</math> on kuldlõige. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math> lahendamisel algtingimustel <math>F_0 = 0</math>, <math>F_1 = 1</math>.
▲Aastal [[1202]] tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia [[matemaatik]] [[Pisa Leonardo]] ehk [[Fibonacci]].
 
<div style="clear:both;width:80%;" class="NavFrame">
==Informaatikas==
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:left; font-size:larger;">Lahendus</div>
Fibonacci arvud on tihedalt seotud [[kuldlõige|kuldlõikega]] — Fibonacci arvude reas juhuslikult valitud arvule eelnev arv on alati ca 0,618 korda väiksem ning arvule järgnev arv on 1,618 korda suurem.
<div class="NavContent" style="text-align:left;display:none;">
Unustame esialgu algtingimused ja otsime rekurrentse võrrandi
 
: <math>F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}. \qquad (1)</math>
Informaatikas on võimalik Fibonacci jadaga praktiliselt näidata iteratiivse ja [[Algoritm#Rekursiivne_algoritm|rekursiivse algoritm]]i vahel. Ka on tegemist ühe lihtsama rekursiivse algoritmiga.▼
 
lahendit kujul
 
: <math>F_{n} = x^n. \,</math>
 
Asendades oletatava lahendi võrrandisse (1) saame pärast kõikide suuruste samale poole võrdusmärki viimist ja <math>x^n</math>-ga jagamist [[karakteristlik võrrand|karakteristliku]] ruutvõrrandi
 
: <math>x^2 - x - 1 = 0. \,</math>
 
Selle [[ruutvõrrand]]i lahendid on
 
: <math>x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi, \,</math>
 
kus <math>\varphi</math> on kuldlõige. Et seos (1) on [[lineaarne diferentsvõrrand|lineaarne]] on <math>F_{n}</math> [[üldlahend]] kujul
 
: <math>F_n = A \varphi^n + B (1 - \varphi)^n, \,</math>
 
kus kordajad <math>A</math> ja <math>B</math> leitakse algtingimustest:
 
: <math>F_0 = 0, \quad F_1 = 1. \qquad (2)</math>
 
Asendades üldlahendi algingimustesse (2) saame [[võrrandisüsteem]]i
 
: <math>F_0 = A + B = 0, \quad F_1 = A \varphi + B (1 - \varphi) = 1,</math>
 
mille lahendamine annab ''A'' ja ''B'' väärtused:
 
<math>A = - B = \frac{1}{2\varphi - 1} = \frac{1}{\sqrt 5}. \,</math>
 
Asendades kordajad ''A'' ja ''B'' üldlahendisse jõuamegi oodatud tulemuseni
 
: <math>F_n = \frac{\varphi^{n} - (1-\varphi)^{n}}{\sqrt{5}}. \,</math>
</div>
</div>
 
== Informaatika ==
 
▲Informaatikas[[Informaatika]]s on võimalik Fibonacci jadaga praktiliselt näidata iteratiivse ja [[Algoritm#Rekursiivne_algoritm|rekursiivse algoritm]]i vahel. Ka on tegemist ühe lihtsama rekursiivse algoritmiga.
 
== Loodus ==
 
▲LoodusesFibonacci esinevadjada Fibonaccivõib arvudkohata näitekska looduses. Näiteks taimede ehituses - et kõik lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt, näiteks kui vaadata, mitu lehte on kahe kohakuti lehe vahel, siis on see tavaliselttihti Fibonacci arv{{lisa viide}}. Sama toimibon täheldatud ka käbi kihtide puhul{{lisa viide}}.
 
== Lucas jada ==
 
▲Eristatakse ka '''[[Édouard Lucas|Lucas]]' jada''', milles samamoodiliikmed ondefineeritakse igasamuti liigerekursiivselt kahe eelneva summaliikme summana, kuid ridamille iseesimesed liikmed on teistsuguneerinevad andes seega Fibonacci jadast erinevava arvujada:
▲:<math>2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots.</math>
 
==Vaata ka==
{{commons|Category:Fibonacci numbers|Kategooria:Fibonacci arvud}}
* [[faktoriaalFaktoriaal]]
 
==Välislink==
Pärit leheküljelt "https://et.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_jada"