Vektorruum: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
1. rida:
{{ToimetaAeg|kuu=veebruar|aasta=2009}}
[[Matemaatika]]s nimetatakse '''vektorruumiks''' üle [[korpus (matemaatika)|korpus]]e ''K''
== Definitsioon ==
Tähistagu '''u''', '''v''' ja '''w''' vektoreid ja ''a'' ja ''b'' skalaare. Vektoruumi aksioomid on järgmised:
{|border=0 width=100%
| '''Aksioom''' ||'''Sümboolne tähistus'''
|-
| Liitmise [[assotsiatiivsus]]|| '''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Liitmise [[kommutatiivsus]] || '''v''' + '''w''' = '''w''' + '''v'''.
|-
| Liitmise [[ühikelement|ühikelemendi]] olemasolu || Leidub selline vektor '''0''' ∈ ''V'', et '''v''' + '''0''' = '''v''' iga '''v''' ∈ ''V'' jaoks. Seda vektorit nimetatakse mida ''[[nullvektor|nullvektoriks]]''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Liitmise [[pöördelement|pöördelemendi]] olemasolu || Iga vektori '''v''' ∈ V jaoks leidub selline vektor '''w''' ∈ ''V'', et '''v''' + '''w''' = '''0'''. Seda vektorit nimetatakse mida '''v''' ''[[vastandvektor]]iks'' ja tähistatkse −'''v'''.
|-
| Vektorite liitmise [[distributiivsus]] skalaariga korrutamise suhtes   || ''a''('''v''' + '''w''') = ''a'''''v''' + ''a'''''w'''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Skalaariga korrutamise distributiivsus vektorite liitmise suhtes || (''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''.
|-
| Skalaariga korrutamise ja skalaaride korrutamise ühilduvus || ''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v''' (See aksioom ei tähenda assotsiatiivsust, kuna käsitletakse erinevaid tehteid: skalaariga korrutamist ''b'''''v''' ja skalaaride korrutamist''ab''.)
|- style="background:#F8F4FF;"
| Skalaarse [[ühikelement|ühikelemendi]] olemasolu || 1'''v''' = '''v''', kus 1 tähistab [[multiplikatiivne ühikelement|multiplikatiivset ühikelementi]] korpuses ''F''.
|}
== Baas ja dimensioon ==
{{vaata | Baas (matemaatika) }}
{{vaata | Dimensioon (matemaatika) }}
Baasi olemasolu annab hea intuitiivse ülevaate vektorruumide struktuurist. Vektorruumi ''V'' üle ''K'' baasiks nimetatakse [[lineaarne sõltumatus|lineaarselt sõltumatute]] vektorite hulka ''B'' = {'''v'''<sub>i</sub>| i ∈ ''I''}, kus ''I'' tähistab [[indeksite hulk]]a, et ''B'' lineaarne kate moodustaks ''V'' = <''B''>. Teisisõnu iga vektor '''v''' ∈ ''V'' on esitatav järgmise [[lineaarkombinatsioon]]ina
:'''v''' = ''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub></sub> + ''a''<sub>2</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>2</sub></sub> + ... = ∑<sub>i ∈ ''I''</sub> ''a''<sub>i</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub>
kus ''a''<sub>''i''</sub> ∈ ''K'' on skalaarid ja vetorid '''v'''<sub>''i''</sub> ∈ ''B' baasi elemendid. Hulga ''B'' elementide arvu (või [[Hulga võimsus|võimsus]]t)nimetatakse vektorruumi dimensiooniks e mõõtmeks ja tähistatakse dim(''V'') või dim ''V''.
Igal vektorruumil on baas. Viimane järeldub [[Zorni lemma|Zorni lemmast]], mis eeldab [[valikuaksioom]]i kehtivust. [[Zermelo-Fraenkeli hulgateooria]]s on baasi olemasolu valikuaksioomiga [[ekvivalentsus|ekvivalentne]]. [[Ultrafiltri lemma]]st, mis on nõrgem kui valikuaksioom, järeldub, et kõik baasid on [[võrdvõimsus|võrdvõimsad]]. Kui vektorruumi lineaarse katte moodustab mõni lõplik hulk, on eelseisev tõestatav otseselt hulgateooriale toetumata.
Kui vektorruumis on defineeritud [[skalaarkorrutis]], siis on võimalik defineerida baasvektorid, mis on
*[[ortogonaalsed vektorid|ortogonaalsed]] e omavahel "risti",
*[[normeeritud vektorid]] ehk ühikulise "pikkusega".
Sellist baasi nimetatakse [[ortonormaalsus|ortonormaalseks]] baasiks.
== Kaasruum ==
Vektorruumi ''V'' [[kaasruum]]iks ''V*'' nimetatakse antud ruumil määratud pidevate [[lineaarne funktsionaal|lineaarsete funktsionaalide]] hulka. <ref>Ü. Kaasik, ''Matemaatikaleksikon'' (Valgus 1982)</ref>. Kaasruumi elemente nimetatakse ka [[kovektor]]iteks.
== Näiteid vektorruumidest ==
* [[Eukleidiline ruum]] on vektorruum üle reaalarvude, milles on defineeritud skalaarkorrutis. [[Kolmemõõtmeliline eukleidiline ruum]] on vektorruum, mille elemente seostatakse põhikoolist tuttava vektorite "tavakäsitusega".
* Reaalarvud moodustavad ühedimensionaalse vektorruumi üle reaalarvude korpuse.
* Kompleksarvud moodustavad kahedimensionaalse vektorruumi üle reaalarvude ent ühedimensionaalse vektorruumi üle kompleksarvude korpuse.
* ''m'' × ''n'' järku maatriksid (üle korpuse ''K'') moodustavad ''m'' × ''n'' dimensionaalse vektorruumi (üle korpuse ''K'').
* Kõik [[normeeritud ruum]]id on vektorruumid.
* [[Banachi ruum]]ideks nimetatakse normeeritud täielikke vektorrruume.
* [[Hilberti ruum]]ideks nimetatakse skalaarkorrutisega varustatud vektorrruume üle kompleksarvude, mis on täielikud skalaarkorrutise kaudu defineeritud [[norm (matemaatika)|normi]] suhtes.
= Viited ==
{{viited}}
{{pooleli}}
| |||