Afiinne aritmeetika

Afiinne aritmeetika on meetod arvutusmatemaatikas, mis võimaldab viia läbi arvutusi ligikaudsete suurustega. See meetod sarnaneb intervalliaritmeetikaga, aga parandab viimase teatud puudujääke. Näiteks annab afiinne aritmeetika paremaid tulemusi arvutustes, kus sama muutuja esineb mitu korda.

Definitsioon

Afiinses aritmeetikas kirjutatakse arvud kujul ${\hat {x}}=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n}$, kus $\epsilon _{1}\ldots \epsilon _{n}$ on tundmatud suurused lõigus $[-1,1]$ ning arvud $x_{0}\ldots x_{n}$ reaalarvulised kordajad. Afiinset kuju ${\hat {x}}$ saab vaadelda afiinse funktsioonina ${\hat {f}}:U^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, kus $U=[-1,1]$.

Afiinse kuju ulatuseks nimetatakse suurust $range(x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n})=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$. Ulatus on võrdne sellele afiinsele kujule vastava lõigu pikkusega. Afiinse kuju liiget $x_{0}$ nimetatakse keskpunktiks.

Tehted

Afiinsed tehted

Afiinseid kujusid kokku liites või neid konstandiga korrutades on tulemuseks uus afiinne kuju. Näiteks liites kokku ${\hat {x}}=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n}$ ning ${\hat {y}}=y_{0}+y_{1}\epsilon _{1}+y_{2}\epsilon _{2}+\ldots +y_{n}\epsilon _{n}$on tulemuseks uus afiinne kuju ${\hat {z}}=x_{0}+y_{0}+(x_{1}+y_{1})\epsilon _{1}+\ldots +(x_{n}+y_{n})\epsilon _{n}$.

Mitteafiinsed tehted

Afiinseid kujusid kokku korrutades või neile elementaarfunktsioone rakendades võib tulemuseks olla suurus, mida ei saa esitada afiinsel kujul. Sellisel juhul tuleb kasutusele võtta uus afiinne kuju, mis vastab ligikaudu tegelikule funktsiooni väärtusele.

Üks võimalus ligikaudse funktsiooni leidmiseks on valida väärtuseks niisugune afiinne kuju, mille maksimaalne erinevus tegelikust väärtusest on minimaalne ehk kasutada Tšebõševi lähendust. Selliselt valitud väärtus on väikese veaga, aga seevastu vajalikust suurema ulatusega, mis osadel juhtudel ei ole soovitav.

Vähima vahemiku lähenduses valitakse funktsiooni väärtuseks afiinne kuju, mille ulatus on minimaalne. Vähima vahemiku lähendus on paljudel juhtudel väiksema arvutusliku keerukusega kui sama funktsiooni Tšebõševi lähendus.

Afiinsete kujude lihtsustamine

Kuna pikemates arvutustes tekkivate liikmete arv on lineaarses seoses tehete arvuga, on kasulik arvutuste käigus tekkinud liikmed üheks liikmeks koondada. Sellisel juhul pole järgnevad arvutused küll sama täpsusega, mis ilma koondamiseta, aga seevastu kulub arvutustele vähem aega.