Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Teleparalleelne gravitatsioon (TPG) on üldine gravitatsiooniteooria, mille lõi Albert Einstein 1920. aastatel eesmärgiga luua teooria, mis ühendaks omavahel elektromagnetismi ja üldrelatiivsusteooria (ÜRT). Pärast 1916. aastat, kui Einstein avaldas üldrelatiivsusteooria, sai gravitatsiooni ja elektromagnetismi ühendamine füüsikas üheks peaeesmärgiks. Kuigi see ebaõnnestus, tõi see kaasa uusi teadmisi raskusjõust. Tänapäeval on leitud, et teleparalleelne gravitatsiooniteooria on võrdväärne üldrelatiivsusteooriaga, kuid nende käsitlused on erinevad. Eestis tegeletakse TPGga ja muude gravitatsiooniteooriatega peamiselt Tartu Ülikooli teoreetilise füüsika laboris ning Tallinnas KBFI-s.

Aegruum ja puutujaruum

Kahemõõtmelise sfääri puutujatasand suvalises punktis

Teleparallelismi põhimõisteteks on aegruum ja puutujaruum. Üldrelatiivsusteoorias on keskseks ruumi ja aja võrdväärsus. Teleparallelismis võetakse kasutusele tetraadi mõiste. Tetraad on neljast lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev baas, mis määrab igas aegruumi punktis selle punkti puutujaruumi. Aegruumi koordinaate tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega $x^{\mu }\,$ ja puutujaruumi koordinaate ladina tähtedega $x^{a}\,$. Piltlikult on puutujaruumi lihtne ette kujutada kui sfääri igas punktis olevat puutujatasandit. Puutujaruum on erinevalt aegruumist alati tasase geomeetriaga ehk seda ruumi kirjeldab Minkowski meetrika

$\eta _{ab}=(1,-1,-1,-1)\,$.

Aegruum ja puutujaruum on omavahel seotud järgmiselt:

$g_{\mu \nu }=h_{\mu }^{a}h_{\nu }^{b}\eta _{ab}\,$ ,

kus $g_{\mu \nu }\,$ on aegruumi meetrika. Suurust $h_{\mu }^{a}\,$ nimetatakse tetraadväljaks.

Kovariantne tuletis ja seostus

Nii teleparallelismis kui ka üldrelatiivsusteoorias on tähtis kovariantse tuletise mõiste. Kuna gravitatsiooni teoorias ei ole üldjuhul tegemist tasase ruumiga, siis ei saa eeldada, et liikumise suund jääb konstantseks. Ruumi kõverust saab uurida vektoritega, vaadates, kuidas vektori suund muutub kõveras ruumis paralleelnihkel. Üldiselt on vektori ${\vec {A}}=(A^{\mu })\,$ muut

$d({\vec {A}})=d(A^{\mu }){\vec {e}}_{\mu }+A^{\mu }d({\vec {e}}_{\mu }),\,$

kus ${\vec {e}}_{\mu }\,$ on baasivektorid. Kasutades tuletise ja summeerimise omadusi, on võimalik kirjutada see avaldis kujul

${\begin{aligned}d({\vec {A}})&=\left({\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }\right){\vec {e}}_{\mu }+A^{\mu }\left({\frac {\partial {\vec {e}}_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }\right)\\&=\left({\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }\right){\vec {e}}_{\mu }+A^{\mu }\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\vec {e}}_{\lambda }dx^{\nu }\\&=\left[{\frac {\partial A^{\lambda }}{\partial x^{\nu }}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }A^{\mu }\right]{\vec {e}}_{\lambda }dx^{\nu }\\&=\nabla _{\mu }A^{\lambda }{\vec {e}}_{\lambda }dx^{\nu },\end{aligned}}\,$

kus suurust $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\,$ nimetatakse seostuseks ning sulgude sees olevat avaldist nimetatakse kovariantseks tuletiseks. $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\,$ on siin oluline, kuna see kirjeldab vektori muutust liikumisel kõveras ruumis. Kuna teleparalleelses käsitluses on puutujaruumi kõverus 0, siis on tetraadi kovariantne tuletis $\nabla _{\nu }h_{\mu }^{a}=0.\,$ See on analoogiline sellega, et tasases ruumis on ristkoordinaatides $(x,y,z)\,$ Minkowski meetrika $\nu _{ab}\,$ tuletis 0, kuna meetrika on konstantne kogu ruumis.

Kõverus ja vääne

Vastavalt ruumi kõverust ja väänet kirjeldavad tensorid on defineeritud järgmiselt:

${\begin{aligned}&R_{\lambda \mu \nu }^{\sigma }=\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda \nu }^{\sigma }-\partial _{\nu }\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\rho }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+\Gamma _{\lambda \nu }^{\rho }\Gamma _{\rho \mu }^{\sigma }\\&T_{\mu \nu }^{\sigma }=\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }.\end{aligned}}\,$

Kuna kõverus ja vääne sõltuvad seostuse $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\,$ valikust, siis võib vabalt valida, mis seoseid see rahuldab. Enamasti valitakse seostus nii, et üks nendest suurustest oleks 0. Üldrelatiivsusteoorias valitakse seostus nii, et oleks täidetud tingimus $T_{\mu \nu }^{\sigma }=0\,$. Teleparalleelses gravitatsioonis seatakse eeldus, et $R_{\lambda \mu \nu }^{\sigma }=0\,$. Nendel eeldustel on võimalik avaldada seostus, mis tuleb

${\begin{aligned}&\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }\left(\partial _{\mu }g_{\lambda \nu }+\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }\right),\\&{\tilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }=h_{a}^{\rho }\partial _{\nu }h_{\mu }^{a},\end{aligned}}\,$

kus $\partial _{\mu }\,$ tähistavad osatuletisi aegruumi koordinaatide järgi. Esimest avaldist nimetatakse Levi-Civita seostuseks ja teist Weizenböcki seostuseks.

Liikumisvõrrandid

TPG liikumisvõrrandid

Weizenböcki seostuse ${\tilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }\,$ saab siduda Levi-Civita seostusega kontorsioonitensori $K_{\mu \nu }^{\rho }\,$ järgmiselt:

${\begin{aligned}\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }={\tilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }+K_{\mu \nu }^{\rho }.\end{aligned}}\,$

Siin on $K_{\mu \nu }^{\rho }\,$ avaldatav väändetensori $T_{\mu \nu }^{\rho }\,$ kaudu kujul

${\begin{aligned}K_{\mu \nu }^{\rho }={\frac {1}{2}}\left(T_{\nu \ \mu }^{\ \rho }+T_{\mu \ \nu }^{\ \rho }-T_{\ \mu \nu }^{\rho }\right).\end{aligned}}\,$

Sellega on võimalik tuletada punktosakese liikumisvõrrandid TPGs, mis tulevad võrrandist

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x^{\rho }}{dt^{2}}}+{\tilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=K_{\mu \nu }^{\rho }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}.\end{aligned}}\,$

See on osakese liikumisvõrrand sarnaselt Newtoni II seadusega, kus vasak pool kirjeldab osakese liikumist ja parem pool sellele osakesele mõjuvaid jõudusid. On näha, et võrrandi parem pool on nullist erinev. See näitab, et osakesele mõjuvad gravitatsioonilised jõud ning et tegemist on jõuvõrrandiga. Sellest järeldub, et paine mängib TPGs gravitatsioonilise jõu rolli.

Võrdlus üldrelatiivsusteooriaga

Üldrelatiivsusteoorias on liikumisvõrrandi parem pool 0 ning seega puuduvad ka jõud. See on TPG ja ÜRT suurimaid erinevusi: ÜRTs põhjustab gravitatsiooni ruumi geomeetria, TPGs ruumi kõverus puudub, kuid kehade vahel mõjuvad jõud, mis tekitavad gravitatsiooni. Lisaks sellele oleks kasulik veel märkida, et TPG on kalibratsiooniteooria, st et liikumisvõrrandid ja ka väljavõrrandid on muutumatud näiteks koordinaadinihetel:

$x^{a}\rightarrow x^{a'}=x^{a}+\epsilon ^{a}(x^{\mu }),\,$

kus $\epsilon ^{a}(x^{\mu })\,$ on koordinaadinihe.

Väljavõrrandid

TPG väljavõrrandite tuletamine käib sarnaselt ÜRT-ga. Selleks võib kasutada vähima mõju printsiipi. Siis tuleb esimesena koostada sobiv Lagrange'i funktsioon. Selle koostamisel tuleb arvestada, et Lagrange'i funktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi:

• Peab olema skalaarne suurus.
• Peab olema reaalne.
• Ei tohi sisaldada kõrgemaid kui 1. järku osatuletisi aegruumi koordinaatidest.
• Peab olema võimalikult lihtsa kujuga.

Kõige lihtsama kujuga Lagrange'i funktsioon, mis neid tingimusi rahuldab, avaldub kujul

${\begin{aligned}L=-kh\left({\frac {1}{4}}T^{abc}T_{abc}+{\frac {1}{2}}T^{abc}T_{bac}-T^{a}T_{a}\right),\end{aligned}}\,$

kus $h\,$ on tetraadi $h_{\ \mu }^{a}\,$ determinant ehk $h=\det(h_{\ \mu }^{a})\,$ $,k\,$ on konstant, mis määratakse hiljem ning $T^{abc}\,$ on väändetensor. Kogu mõju tuleb sel juhul võrrandist

${\begin{aligned}S=\int L+L_{m},\end{aligned}}\,$

kus $L_{m},\,$ on mateeria liige. Vähima mõju printsiibi kohaselt tuleb mõju varieerida tetraadi $h_{\mu }^{a},\,$ suhtes. Seda tehes moodustuvad TPG väljavõrrandid

${\begin{aligned}\partial _{\sigma }\left(hS_{a}^{\rho \sigma }\right)-k\left(hj_{a}^{\rho }\right)=kh\Theta _{a}^{\rho },\end{aligned}}\,$

kus $hS_{a}^{\rho \sigma }\,$ nimetatakse superpotentsiaaliks ja $hj_{a}^{\rho }\,$ on energia-impulsi tihedus. $h\Theta _{a}^{\rho }\,$ on mateeria energia-impulsi tensor. On näha, et need võrrandid on analoogilised ÜRTs tuntud Einsteini võrranditega, mis üldisel kujul on

${\begin{aligned}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.\end{aligned}}\,$

Mõlemal juhul on tegemist teist järku tensoritest koosnevate võrranditega. Kuna nii puutujaruumi kui ka aegruumi indeksid saavad omada nelja väärtust, siis mõlemal juhul on kokku 16 võrrandit. Sümmeetriate tõttu aga on võimalik leida, et 6 neist on jäljendid ning seega tuleb kokku 10 sõltumatut tensorvõrrandit. Seega on näha, et TPG ja ÜRT väljavõrrandid on võrdväärsed.

Võrdväärsus üldrelatiivsusteooriaga

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria on võrdväärdne üldrelatiivsusteooriaga. See tähendab, et teleparalleelne käsitlus ei too kaasa uut füüsikat, vaid lihtsalt selle kirjeldus on erinev. Neid kahte erinevat kirjeldust lubab gravitatsiooni üldisus. Kuigi ÜRT ja TPG on võrdväärsed teooriad, on nende vahel siiski põhimõttelisi erinevusi:

• Teleparallelism on kalibratsiooniteooria, kuid üldrelatiivsusteooria ei ole.
• ÜRTs kirjeldab gravitatsioonilisi nähtusi ruumi kõverus. TPGs puudub kõverus, kuid paine tekitab gravitatsioonilisi jõudusid.
• ÜRTs on põhimõisteks kõver aegruum. TPGs on põhimõisteks tasane puutujaruum.

Seega see, kas aegruum on kõver või mitte, sõltub sellest, millised eeldusi tehakse ja kumb mingil juhul lihtsam on. Kuna TPG on kalibratsiooniteooria, siis on ta üldisem kui ÜRT, kuna TPGs on vabadus teha koordinaatteisendusi, ilma et võrrandid sellest muutuksid.