Subfaktoriaal

Subfaktoriaal Faktoriaal
0 1 1
1 0 1
2 1 2
3 2 6
4 9 24
5 44 120
6 265 720
7 1854 5040
8 14 833 40 320
9 133 496 362 880
10 1 334 961 3 628 800

Subfaktoriaal ehk de Montmorti arv ehk korratuste arv (tähis ) on peamiselt kombinatoorikas kasutatav funktsioon, mis seab igale naturaalarvule vastavusse -elemendilise hulga korratuste ehk püsipunktita permutatsioonide hulga.

!n näitab näiteks, mitmel viisil saab n inimest vahetada kingitusi nii, et igaüks annab ühe kingituse kellelegi teisele ja saab täpselt ühe kingituse kelleltki teiselt.

Subfaktoriaal on tihedalt seotud faktoriaaliga , mis annab -elemendilise hulga permutatsioonide koguarvu, ning on faktoriaali järgi ka nime saanud. Subfaktoriaal ei ületa kunagi faktoriaali:

.

Subfaktoriaal on ligikaudu võrdne faktoriaali ja arvu e jagatisega.

DefinitsioonRedigeeri

Naturaalarvu   subfaktoriaal defineeritakse faktoriaali kaudu valemiga

 .

Subfaktoriaal   vastab  -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide (korratuste) arvule, faktoriaal   aga kõigi võimalike permutatsioonide arvule.

NäideRedigeeri

Oletame, et meil on kuus eri värvi kuulikest ja iga kuulikese jaoks kast, mis on sellega ühte värvi. Tuleb leida, mitu võimalust on jagada kuulikesed kastidesse nii, et igas kastis on täpselt üks kuulike, aga ükski kuulike ei ole kastis, mis on sellega ühte värvi. Neid võimalusi on täpselt

 .

Teised esitusedRedigeeri

ÜmardusesitusedRedigeeri

Subfaktoriaali lähenduste võrdlus
         
1 0,37 0 0,74 0
2 0,74 1 1,10 1
3 2,21 2 2,58 2
4 8,83 9 9,20 9
5 44,15 44 44,51 44
6 264,87 265 265,24 265
7 1854,11 1854 1854,48 1854
8 14832,90 14833 14833,27 14833
9 133496,09 133496 133496,46 133496

Kehtib valem

 ,

kus   on arv e ja   on mittetäielik gammafunktsioon.

Väga hea lähendus on

 .

Ümardamise abil saab   kohta anda isegi täpse valemi

 ,

kus   tähistab arvule   lähimat täisarvu.

Kui viimasesse valemisse lisada enne jagamist veel ühe liitmine, siis ei ole enam tarvis vahet teha, kas ümardatakse alla- või ülespoole. Selle asemel kasutatakse lihtsalt täisosa, nii et  : avaldub nii:

 ,

kus   tähistab arvu   täisosa[1].

Rekursiivsed esitusedRedigeeri

Subfaktoriaali rekurrentne esitus
         
1 1 1 −1 0
2 0 0 +1 1
3 1 3 −1 2
4 2 8 +1 9
5 9 45 −1 44
6 44 264 +1 265
7 265 1855 −1 1854
8 1854 14832 +1 14833
9 14833 133497 −1 133496

Subfaktoriaali saab arvutada ka rekurrentselt valemite

  ( )

ja

  ( )

järgi. Avaldis   vastab  -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide arvule ühe fikseeritud elemendi korral (jada A0002555 saidil OEIS).

Veel üks rekurrentne valem binoomkordajate kaudu on järgmine:

 

Selle saame järgmistel kaalutlustel. Permutatsioone on kokku  .   püsipunkti saab valida   viisil. Püsipunktita permutatsioone ülejäänud   elemendiga on  .

IntegraalesitusRedigeeri

Järgnev integraalesitus päratu integraali kaudu üldistab subfaktoriaali naturaalarvudelt kompleksarvudele, mille reaalosa on suurem kui math>-1</math>:

 .

MaatriksesitusRedigeeri

!n on sellise n-nda astme ruutmaatriksi permanent, mille peadiagonaalil on nullid ja mille ülejäänud elemendid on ühed.

UmbraalarvutusRedigeeri

Umbraalarvutuses kehtivad formaalsed samasused

 

ja

 ,

kus   tähistab   ja   tähistab  .

Väärtuste tabelRedigeeri

!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1 854
!8 = 14 833
!9 = 133 496
!10 = 1 334 961
!11 = 14 684 570
!12 = 176 214 841
!13 = 2 290 792 932
!14 = 32 071 101 049
!15 = 481 066 515 734
!16 = 7 697 064 251 745
!17 = 130 850 092 279 664
!18 = 2 355 301 661 033 953
!19 = 44 750 731 559 645 106
!20 = 895 014 631 192 902 121
!21 = 18 795 307 255 050 944 540

MeelelahutusmatemaatikaRedigeeri

Ainus subfaktorioon, st ainus arv, mis võrdub oma kümnendesituse numbrite subfaktoriaalide summaga, on[2]

 .

Mängus "Neli nelja" mõne variandi puhul on kasulik teada, et !4 = 9.

TähisRedigeeri

!n on kõige levinum tähis, kuid see on ebamugav, sest faktoriaali tähisega segiajamise vältimiseks tuleb kasutada sulgi. Muud tähised on M(n) (pärineb Pierre Rémond de Montmortilt), h(n, 0) (pärineb Donald Knuthilt), Mn ja n¡ .

AjaluguRedigeeri

Korratuste arvuga tegelesid esimestena Leonhard Euler ja Nikolaus II Bernoulli.

ViitedRedigeeri

  1. Mehdi Hassani. Derangements and Applications. – Journal of Integer Sequences, 2003, kd 6, artikkel 03.1.2.
  2. Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, |New York: Dover 1979, lk 167.

KirjandusRedigeeri

  • David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 2. trükk. 1997, 1997, ISBN 0140261494, lk 104.
  • Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, New York: Dover 1979, lk 167.

VälislingidRedigeeri