Sammfunktsioon

Funktsiooni nimetatakse sammfunktsiooniks, kui seda saab kirjeldada lõpliku arvu intervallide karakteristlike funktsioonide lineaarkombinatsioonina.

Näide sammfunktsioonist. Antud funktsioon on paremalt poolt pidev.

Definitsioon

Funktsioon $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ on sammfunktsioon, kui seda kirjeldab summa

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)$

kus $n$ on intervallide arv, $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$, $A_{i}$ on intervall ja $\chi _{A_{i}}$ on hulga $A_{i}$ karakteristlik funktsioon.

Funktsiooni $\chi _{A}$ nimetatakse hulga $A$ karakteristlikuks funktsiooniks, kui

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1,&x\in A\\0,&x\notin A.\\\end{cases}}$

Sammfunktsiooni intervallidel järgnevad omadused:

1. Intervallid on paarikaupa lõikumatud ehk $\forall i,j$; $0\leq i,j\leq n$;
   1. $i\neq j$ : $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$.
2. Intervallide ühisosa katab terve reaaltelje ehk $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$

Kui need omadused ei kehti, on võimalik funktsioon ümber kirjutada. Näiteks funktsiooni

$f(x)=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{[0,6)}$

saab kirjutada ka

$f(x)=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0)}+7\chi _{[0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}$.

Omadused

• Kahe sammfunktsiooni summa ja korrutis on sammfunktsioon. Sammfunktsiooni korrutamine reaalarvuga annab samuti sammfunktsiooni.
• Sammfunktsiooni määratud integraal annab tükiti pideva funktsiooni.

Näited

Heaviside'i funktsioon

• Konstantne funktsioon on lihtsaim näide sammfunktsioonist. Antud juhul on funktsioonil ainult üks intervall $A_{0}=\mathbb {R}$.

• Märgifunktsioon on lihtsaim mittekonstantne sammfunktsioon.

• Heaviside'i funktsiooni $H(x)$ väärtus on negatiivsete arvude puhul 0, nulli puhul 0,5 ja positiivsete arvude puhul 1. See funktsioon leiab kasutust süsteemide sammkoste määramisel. Näiteks süsteemi sisendile konstantse pinge rakendamist mingiks ajaühikuks kirjeldab valem $V(t)=H(t-a)-H(t-b)$, kus $a$ on pinge rakendamise alghetk ja $b$ on pinge rakendamise lõpphetk.