Kolmnurga võrratus

Disambig gray.svg  See artikkel räägib kolmnurga külgede omadusest ; teiste kolmnurga omaduste kohta vaata artiklit Kolmnurk

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.[1][2]

Teiste sõnadega kolmnurga küljed ja on seoses

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid ja ning nende pikkusi:

Eukleidese geomeetriaRedigeeri

 
Joonis 1: Eukleidese kolmnurga võrratuse tõestuseks kasutatud joonis kolmnurgast.

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga  . Küljele   moodustatakse võrdhaarne kolmnurk   nii, et külg   on külje   pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk  , nii et külg  .

Kuid  , nii et külgede summa on  , mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.[3][4]

Võrratusest tulenevad valemidRedigeeri

Võrratus teisel kujulRedigeeri

Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede   ja   vahel järgmised seosed:

 
Joonis 2: kolm juhtu kolmnurga võrratuses. Külgede pikkused on   ja  

     [5]

Sellest valemist järeldub

 

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

 

Seda saab panna kirja valemina

  mis on sama mis  [6]

Kolmnurga võrratuse juhudRedigeeri

Kui on antud kolm külge   ja  , kus   on pikim külg, siis tulenevalt  -külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul:

  1.  
  2.  (summavektor vektorite käsitluses)
  3.  , kus  -külje pikkus on vähesel määral väiksem kui   ja   summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisestRedigeeri

Näide kahel hulknurgalRedigeeri

Olgu meil hulknurk   ja selle sees kolmnurk  .

Tõestame, et  kus   on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

  1. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele   ja  
  2. Saame   ja  
  3. Liidame võrratused:   ehk  
  4. Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse  
  5. Saame   ehk  [7]

Kolmnurga võrratus vektorruumisRedigeeri

 
Joonis 3: kolmnurga võrratus kasutades summavektorit, kus  ja   on vektorid.

Kui on antud normeeritud vektorruum  siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

 

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite   ja   summavektoriks   nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori   alguspunktist vektori   lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui   ja   pikkuste summa.[8]

Meetriline ruumRedigeeri

Olgu   mitte tühi meetriline ruum ning   funktsioon  üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on:

 [9]

Igale paarile   on vastavusse seatud reaalarv  mis on   ja   vaheline kaugus:  (absoluutväärtus või moodul arvude   ja   vahest).[10]

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist.

  korral:

(M1)  

(M2)  kui  

(M3) 

(M4)   [9]

Tagurpidi kolmnurga võrratusRedigeeri

Tuletame meetrilise ruumi  eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust.

  korral:

 

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil:

 

ja sellest tuleneb

 

ning saame

 mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.[9]


Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju  kus   ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:

 

mis tähendabki seda, et  

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et  :

 

 

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

 [11]

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. 
  2. Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar. "Matemaatika õhtuõpik". 2014. OÜ Hea Lugu. Failitüüp: pdf. Vaadatud 1. detsember 2018.
  3. David E. Joyce. "Euclid's elements: Book I, Proposition 20". Dept. Math and Computer Science, Clark University. Vaadatud 21.12.2018.
  4. Euclides; Richard Fitzpatrick; Johan Ludvig Heiberg (2007). Euclid's elements of geometry : the Greek text of J.L. Heiberg (1883-1885). [s.l.] : [s.n.]. Lk 21. ISBN 9780615179841 0615179843. inglise. 
  5. Minna Bro. "MTMM.00.114 Matemaatika olümpiaadid: Algebra, Peatükk 1. Arvuteooria". (lk 25-26). mai 2018. Vaadatud 12.12.2018.
  6. "American Mathematical Monthly". pp. 49-50, 1954.
  7. Raili Vilt. "Ettevalmistus matemaatikaolümpiaadiks II: Kolmnurga ja nelinurga võrratused". TÜ teaduskool. Vaadatud 21.12.2018.
  8. Tõnu Laas, Risto Tammelo. "Vektor- ja tensoranalüüs: Loengukonspekt koos üllesannete lahendustega". 11.11.2004. Teoreetilise Füüsika Instituut, Tartu Ülikool. Vaadatud 21.12.2018.
  9. 9,0 9,1 9,2 Qamrul Hasan Ansari (2010). Metric spaces : including fixed point theory and set-valued maps. New Delhi: Narosa. 
  10. Eve Oja, Peeter Oja (1991). Funktsionaalanalüüs. Tartu: Tartu Ülikool. Lk 3. ISBN 9789949800308
  11. Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". The popular educator; fourth volume. Ludgate Hill, London: John Cassell. lk 196.