Kepleri seadused

Kepleri seadused kirjeldavad planeetide liikumist ümber Päikese. Kolm Kepleri seadust on järgmised:

  1. Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.
  2. Planeedi raadiusvektor katab võrdsete ajavahemike jooksul võrdsed pindalad.[1]
  3. Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.
Kepleri kolme seaduse illustratsioon. (1) Orbiidid on ellipsid, kus esimese planeedi fookusteks on ƒ1 ja ƒ2 ning teise planeedi fookusteks ƒ1 ja ƒ3. Päike asub fookuses ƒ1. (2) Kaks tumedamat sektorit A1 ja A2 on võrdsete pindaladega. Aeg, mis kulub planeedil 1, et katta sektorit A1, on võrdne ajaga, mis kulub, et katta sektor A2. (3) Orbitaalperioodide suhe planeedi 1 ja planeedi 2 jaoks on a13/2 : a23/2.

Seaduste tuletamisel ei arvestata planeetidevahelise interaktsiooniga ja eeldatakse, et piirjuhul → 0. Kepleri seadused moodustavad hea mudeli, millega arvutada nende planeetide orbiite, mis ei erine liialt nendest piirangutest.

Ajalugu muuda

Johannes Kepler avastas kaks esimest seadust, analüüsides Tycho Brahe[2] astronoomilisi vaatlusi. Oma töö avaldas ta 1609. aastal. Kolmanda seaduse avastas Kepler aastaid hiljem ja avaldas 1619. aastal. 17. sajandi algul olid Kepleri seadused radikaalsed: valdavalt usuti, et taevakehade orbiidid on ideaalsed ringid. Orbiitide elliptilisus ei olnud vaatlusel tihti arusaadav ja seega on lihtne pidada neid ringikujulisteks. Esmalt arvutas Kepler planeedi Marss orbiiti, mis vihjas elliptilisele kujule. Sellest järeldas ta, et ka teistel taevakehadel, sealhulgas ka neil, mis asuvad Päikesest kaugemal, peavad olema elliptilised orbiidid. Kepleri seadused esitasid tõsise väljakutse senisele üldtunnustatud geotsentrilisele Aristotelese ja Ptolemaiose maailmasüsteemile ning toetasid üldjoontes Mikołaj Koperniku heliotsentrilist teooriat, ehkki Koperinku teoorias olid planeetide orbiidid ikkagi ringikujulised.[2]

Peaaegu sajand hiljem tõestas Isaac Newton, et Kepleri seadused kehtivad kindlatel ideaalsetel tingimustel, mis piisavalt hea lähendusega esinevad Päikesesüsteemis, ning tulenevad Newtoni kolmest seadusest ja gravitatsiooniseadusest.[3][4] Kuna planeetidel on mass ja massist tulenev liikumise perturbatsioon, kehtivad Kepleri seadused ainult ligikaudselt ja ei kirjelda täpselt Päikesesüsteemi sisemist liikumist.[3][5] Voltaire'i 1738. aastal avaldatud "Eléments de la philosophie de Newton" oli esimene teos, kus nimetati Kepleri seadusi seadusteks.[6] Koos Newtoni matemaatiliste teooriatega moodustavad Kepleri seadused osa tänapäeva astronoomiast ja füüsikast.[3]

Esimene seadus muuda

 
Kepleri esimest seadust kujutav joonis, kus Päike (M) asub ellipsi, mis on planeedi (m) orbiidiks, ühes fookuses
Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.

Ellips on matemaatiline kujund, mis meenutab kujult välja venitatud ringjoont. Päike ei asu ellipsi keskpunktis, vaid ühes fookustest. Ringjoon on ellipsi erijuht, kui mõlemad fookused asuvad ühessamas punktis, mis langeb kokku ellipsi keskpunktiga. Ellipsi kuju kirjeldatakse parameetriga, mida kutsutakse ekstsentrilisuseks. Ekstsentrilisus on parameeter, mis võib muutuda nullist (tavaline ringjoon) üheni (ellips, mis on fookuste kauguse tõttu nii välja venitatud, et moodustab parabooli). Päikesesüsteemi planeetide orbiitide ekstsentrilisus on väikseim Veenusel (0,007)[7][8]. Ometi ei erine isegi Merkuuri orbiit kuigi palju ringjoonest. Samas on avastatud taevakehi, mille ekstsentrilisus on väga suur. Nende seas on palju komeete ja asteroide. On vaadeldud ka taevakehasid, mille orbiit on paraboolne või hüperboolne.[9]

 

Ellipsi võrrandi kuju polaarkoordinaatides on

 

kus r ja θ on ellipsi polaarkoordinaadid, p on fokaalparameeter ja ε on orbiidi ekstsentrilisus. Kui vaatame ellipsit planeedi orbiidina kujutab r planeedi kaugust Päikesest ja θ on nurk planeedi hetkeasukoha ja Päikesele lähima asukoha vahel.

Olukorda, kus θ = 0° nimetatakse periheeliks, siis on planeedi kaugus Päikesest minimaalne.

 

Kui θ = 90° või θ = 270°, siis kaugus on p.

Kui θ = 180°, afeel, on kaugus maksimaalne.

 

Pikem pooltelg a on aritmeetiline keskmine rmin ja rmax vahel:

 

seega

 

Lühem pooltelg b on geomeetriline keskmine rmin ja rmax vahel:

 

seega

 

Fokaalparameeter p on harmooniline keskmine rmin ja rmax vahel:

 

Ekstsentrilisus ε on variatsioonikoefitsient rmin ja rmax vahel:

 

Ellipsi pindala on

 

Erijuhul, kui on tegemist ringiga, on ε = 0, mis annab r = p = rmin = rmax = a = b ja S = π r2.

Esimese seaduse tuletamine

Esimese seaduse tuletamiseks peab esmalt defineerima

 

kus konstant

 

on pikkuse dimensiooniga. Seega

 

ja

 

On üle mindud diferentseerimiselt aja järgi diferentseerimisele nurga järgi:

 

Diferentseerides

 

kaks korda, on tulemuseks

 
 

Asendades radiaalsesse liikumisvõrrandisse

 

saab

 

Jagades parema poolega saab lihtsa mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi:

 

Ilmne lahend sellele võrrandile on ringikujuline orbiit

 

Ülejäänud lahendeid saab, kui otsida lahendit konstantsete kordajatega homogeensele lineaarsele diferentsiaalvõrrandile

 

Vastavad lahendid on

 

kus ε ja   on suvalised integreerimiskonstandid. Seega tulemuseks on

 

Valides koordinaatsüsteemi telje nii, et  , ja lisades   saab

 
 
Kui   on see ellipsi võrrand ja illustreerib Kepleri esimest seadust.

Teine seadus muuda

Planeedi raadiusvektor katab võrdsetes ajavahemikes võrdsed pindalad.[1]

Mõistmaks Kepleri teist seadust eeldame, et planeedil kulub üks päev liikumaks punktist A punkti B. Jooned Päikeselt punktidesse A ja B koos planeedi orbiidiga määravad piisavalt heas lähenduses kolmnurkse ala. Olenemata, kus kohas planeet oma orbiidil paikneb, katab tiirleva planeedi liikumisele vastav raadiusvektor iga päev sama suure pindala. Nagu väidab Kepleri esimene seadus peab planeet liikuma mööda elliptilist orbiiti paiknedes seega eri aegadel Päikesest eri kaugustel. Seega peab planeet liikuma kiiremini paiknedes Päikesele lähemal ja aeglasemalt olles Päikesest kaugemal, et katta sama suur ala.

Kepleri teine seadus vastab faktile, et jõukomponent, mis on risti raadiusvektoriga, on null. Kiirus, millega liigub segment, on vastavuses impulsimomendiga ja seega esitab Kepleri teine seadus impulsimomendi jäävust. Kirjutades valemina:

 

kus   on kiirus, millega pind liigub.

Tuntud ka võrdsete pindade reeglina, mis kehtib ka hüperboolsetele- ja paraboolsetele trajektooridele.

Teise seaduse tuletamine

Tuletamaks Kepleri teist seadust on vaja tangentsiaalkiirenduse võrrandit.

Suurus

 

on liikumisintegraal, isegi kui nii kaugus r, nurkkiirus   kui ka tangentsiaalkiirus   muutuvad, sest

 

kus avaldis :  kaob vastavalt tangentsiaalkiirenduse võrrandile. Integreerides pinda ajast t1 kuni ajani t2 saab võrrandi

 
mis sõltub ainult ajaperioodi pikkusest, ehk t2 − t1. See ongi Kepleri teine seadus.

Kolmas seadus muuda

Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.

Kolmas seadus kirjeldab suhet planeedi kauguse Päikesest ja taevakeha tiirlemisperioodi vahel. Olgu näiteks planeet A neli korda Päikesest kaugemal kui planeet B. Seega peab planeet A läbima iga tiiruga neli korda pikema vahemaa kui planeet B. Planeet A liigub kaks korda aeglasemalt kui planeet B, et säiliks tasakaal vähenenud tsentripetaaljõuga, mis tuleneb gravitatsioonilisest tõmbest. Kokku kulub planeedil A 4×2=8 korda kauem aega, et teha üks täistiir ümber Päikese kui planeedil B. See on vastavuses Kepleri kolmanda seadusega (82=43).

Kolmandat seadust tunti ka harmoonilise seadusena[10], kuna Kepler kasutas seda katses määrata "kerade muusika" täpseid reegleid ja esitada neid muusikalises kirjaviisis.[11]

Praegusel ajal kasutatakse kolmandat seadust, et kindlaks teha eksoplaneedi kaugus tähest, mille ümber see tiirleb. Kauguse määramine aitab kindlaks teha, kas planeet sobib eluks.[12]

Valemites väljendades:

 

kus T on planeedi tiirlemisperiood ja a on orbiidi pikem pooltelg.

Võrdelisuse konstant on sama iga Päikese ümber tiirleva planeedi jaoks.

 

Konstandi väärtuseks tuleb 1(täheaasta)2(astronoomiline ühik)−3. Arvutades tulemuse välja saab 2.97472505×10–19 s2m−3.

Kolmanda seaduse tuletamine

Erijuhul, kui tegu on ringikujuliste orbiitidega, mis on ellipsid ekstsentrilisusega null, on suhet orbiidi raadiuse a ja perioodi T vahel üpriski lihtne tuletada. Ringliikumise tsentripetaaljõud on võrdeline a/T2, mis omakorda on võrdeline 1/a2. Seega

 

Üldiselt on tegemist aga elliptiliste orbiitidega ja seega on ka tuletuskäik keerukam.

Elliptilise planeedi orbiidi pindala on

 

Kiirus, millega raadiusvektor katab orbiidi pinda on

 

kus

 

Orbiidi periood on

 

millest tuleneb

 

mis omakorda näitab Kepleri kolmandat seadust

 

Üldistus muuda

Kepleri seadused kirjeldavad ligikaudselt kahe keha liikumist orbiidil üksteise ümber. Kahe keha massid võivad olla peaaegu võrdsed, näiteks Charon ja Pluuto (erinevus ~1:10), väikese erinevusega, näiteks Kuu ja Maa (~1:100), või suure erinevusega, näiteks Merkuur ja Päike (~1:10 000 000).

Kahe keha liikumise korral sõltub tiirlemine süsteemi barütsentrist (punkt, mille ümber kehade süsteem tiirleb), kuna kummagi keha massikese ei asu täpselt ühes ellipsi fookuses. See-eest on mõlemad orbiidid ellipsid, mille üks fookus asub barütsentris. Juhul, kui masside suhe on suur, võib barütsenter olla suurema keha sees massikeskme lähedal. Sellisel juhul on tarvis keerukat täppismõõtmist, et eristada barütsentrit suure keha massikeskmest. Taevakehadest, mis tiirlevad ümber Päikese, on suurima massiga Jupiter (masside suhe 1/1047,3486) ja Saturn (1/3497,898)[13], seega on juba pikka aega teatud, et Päikesesüsteemi massikese võib kohati paikneda väljaspool Päikest.[14], mõnikord kuni Päikese diameetri kaugusel Päikese keskmest. Seega Kepleri esimene seadus, ehkki ligikaudselt piisavalt täpne, ei kirjelda klassikalise füüsika abil planeetide tiirlemist ümber Päikese.

Nullekstsentrilisus muuda

Kui planeedi orbiidi ekstsentrilisus oleks null, siis Kepleri seaduste järgi:

  1. planeedi orbiit oleks ringjoon;
  2. Päike paikneks orbiidi keskkohas;
  3. planeedi liikumise kiirus orbiidil oleks konstantne;
  4. täheperiood ruudus on võrdeline kaugusega Päikesest kuubis.

Kuue planeedi, mis olid Kopernikule ja Keplerile teada, ekstsentrilisused on üpriski väikesed, mis võimaldab hea täpsusega hinnata planeetide liikumist lähtudes neist punktidest.

Kuna ühtlast ringliikumist peeti normaalseks, siis kõrvalekaldeid taolisest liikumisest peeti anomaaliateks. Kepler täiendas Koperniku mudelit, saades uuteks reegliteks:

  1. planeedi orbiit ei ole ringjoon, vaid ellips;
  2. Päike ei asu orbiidi keskkohas vaid fookuspunktis;
  3. nii planeedi joonkiirus kui ka nurkkiirus muutuvad;
  4. täheperiood ruudus on võrdeline miinimumkauguse ja maksimumkauguse aritmeetilise keskmisega kuubis.

Vaata ka muuda

Viited muuda

  1. 1,0 1,1 Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", "Wolfram Demonstrations Project". Retrieved December 27, 2009.
  2. 2,0 2,1 Holton, Gerald James (2001). Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond (3rd paperback ed.). Piscataway, NJ: Rutgers University Press. Lk 40–41. ISBN 0-8135-2908-5. Vaadatud 27. detsembril 2009. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |coauthor=, kasuta parameetrit (|author=) (juhend)
  3. 3,0 3,1 3,2 G E Smith, "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", Historical context ... in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
  4. Book 1, Proposition 13, Corollary 1, Book 1, Proposition 65, (Proposition 65, Case 1), Book 3, Proposition 13.
  5. page 1 H C Plummer (1918), An introductory treatise on dynamical astronomy, Cambridge, 1918.
  6. Wilson, Curtis (mai 1994). "Kepler's Laws, So-Called" (PDF). HAD News. Washington, DC: Historical Astronomy Division, American Astronomical Society (31): 1–2. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 17. august 2011. Vaadatud 27. detsembril 2009.
  7. ""NASA Venus: Facts & Figures"". Originaali arhiivikoopia seisuga 29. mai 2015. Vaadatud 6. novembril 2011.
  8. ""NASA Mercury: Facts & Figures"". Originaali arhiivikoopia seisuga 8. aprill 2014. Vaadatud 6. novembril 2011.
  9. "SECCHI Makes a Fantastic Recovery!", Brian Dunbar 2008
  10. Gerald James Holton, Stephen G. Brush (2001). Physics, the Human Adventure. Rutgers University Press. Lk 45. ISBN 0813529085.
  11. Burtt, Edwin. The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science. p. 52.
  12. "Arhiivikoopia". Originaali arhiivikoopia seisuga 5. november 2011. Vaadatud 6. novembril 2011.{{netiviide}}: CS1 hooldus: arhiivikoopia kasutusel pealkirjana (link)
  13. Astronomical Almanac for 2008, lehekülg K7
  14. 'Principia', Book 3, Proposition 12

Kirjandus muuda

  • Kepleri elulugu on võetud kokku lehekülgedel 523–627, samuti viiendas raamatus tema magnum opuses, Harmonice Mundi (harmonies of the world), uuesti trükitud lehekülgedel 635–732 raamatus On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo Galilei, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, 2002 ISBN 0-7624-1348-4
  • J. L. Meriam "Dynamics" leheküljed 161–164, ilmunud 1966 ja 1971, toimetaja John Wiley, New york, ISBN 0-471-59601-9
  • Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-57597-4
  • V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Chapter 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3

Välislingid muuda