Kasutaja:Margusmartsepp/kasutajaartiklid/Integraal

Funktsiooni integraal on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid, ning tegemist on terminiga, mis üldistab integraale. Funktsiooni integraali leidmise protsessi kutsutakse integreerimiseks.

Definitsioonid muuda

Riemanni integraalid muuda

 
Määratud integraal lõigul  
 
Riemanni integraalsumma ligikaudne arvväärtus leitakse ristkülikute summana.
 
Riemanni summa koondub, kui osalõike vähendada ükskõik mis viisil.

Riemanni geomeetrilise definitsiooni järgi - täidetakse graafi alune ala (funktsiooni ja x-telje vaheline ala) lõpmata paljude lõpmata kitsa laiusega ristkülikutega, mille pindalade summa piirväärtus on integraali ligikaudseks väärtuseks.

Funktsioon   on integreeruv, kui ta on pidev ja tõkestatud kinnisel vahemikul (e. integreerimislõigus ).   

Kus kehtib alljärgnev:

  • konkreetse ristküliku alus on  
  • konkreetse ristküliku kõrgus on  
  • ristkülikute kogus on  
  •   ja  
  •  

Integreerimislõiguga integraali kutsutakse määratud integraaliks, üldistatud ehk ilma lõiguta integraali aga määramata integraaliks.

Osad funktsioonid ei lähene ühele kindlale väärtusele ja nende puhul ei saa Riemanni järgi integraalsummat leida.

Määratud integraal muuda

Määratud integraal (Riemanni integraali 1. klass), tuntud ka kui kumulatiivne summa ja kõvera alune pindala.
 
On integraal, mille funktsioon   reaalarvu tüüpi muutuja   korral on integreeruv kinnisel vahemikul  , integreerides muutuja  'i järgi ja on võrdne funktsiooni   algfunktsioon'iga   rajal  , mis on võrdne   väärtuste vahega kohtadel   ja  . Määratud integraali ligikaudset väärtust saab arvutada vaid mitte päratutele integraalidele.[1]
  Pikemalt artiklis Määratud integraal
  Pikemalt artiklis Päratu integraal
  Pikemalt artiklis Newton-Leibnizi valem

Määramata integraal muuda

Määramata integraal (Riemann'i integraali 2. klass), tuntud ka kui tuletise pöördfunktsioon.
 
[2]
  Pikemalt artiklis Määramata integraal

Fundamentaalteoreemid muuda

  • Fundamentaalteoreem 1
     
  • Fundamentaalteoreem 2
     

Riemanni kordsed integraalid muuda

Kahekordne integraal muuda

Kolmekordnekordne integraal muuda

Esimest liiki joonintegraal muuda

Teist liiki joonintegraal muuda

Esimest liiki pindintegraal muuda

Teist liiki pindintegraal muuda

Green'i valem muuda

Pinna integraal
 
  Pikemalt artiklis Pinna integraal

Lebesgue integraal muuda

Lebesgue’i integraal

 


Omadused & tõestused muuda

Järgnevate omaduste tõestus, on saadaval:

Määramata integraal muuda

Kuna kehtivad homogeensus ja aditiivsus, saame järeldada, et määramata integraal on lineaarsuse omadus. [3]

Tuletise reeglitest olenevalt on funktsiooni ja integreerimiskonstandi tuletis 0:

 

  1. Funktsiooni tuletise integraal on algfunktsioon ja suvaline konstant   (integreerimiskonstant).
     
     
  2. Funktsiooni   muutuja kordaja reaalarvu   saab integraalist välja tuua.
     
  3. Summa ja vahe korral on võimalik funktsioonid üksteisest lahti harutada kaheks integraaliks.
     

Määratud integraal muuda

Alljärgnev eeldab, et funktsioonid   ja   on ühtlaselt pidevad lõigul  , ning antud lõigul on lokaalne maksimum   ja lokaalne miinimum  .


  1. Funktsiooni   määratud integraal rajades  -st  -ni on võrdne algfunktsiooni väärtuse kohal b ja algfunktsiooni väärtuse kohal a vahega.
  2. Kui vahetada määratud integraali rajad, muutub märk integraali ees vastupidiseks.
  3. Kui funktsiooni lõigu pikkus on 0, ehk  , siis integraali väärtus on 0.
     
  4. Funktsiooni   muutuja kordaja reaalarvu   saab integraali märgi alt välja tuua.
     
  5. Kahe funktsiooni summa või vahe määratud integraal on võrdne nende funktsioonide summa või vahe määratud integraalidega.
     
  6. Määratud integraali lõiku saab poolitada lõikudeks. See on tuntud, kui aditiivsuse omadus.
     
  7. Kui muutujat mille järgi integreeritakse ei leidu, on tegemist konstandiga, nimetagem seda  . Määratud integraali puhul lihtsutub see:
     
  8. Funktsiooni   määratud integraali absoluutväärtus on väiksem või võrdne selle funktsiooni absoluutväärtuse määratud integraalist.
     
  9.  
  10.  
  11.  

Integreerimise meetodid muuda

Üldistatud astme valem muuda

Ositi integreerimine muuda

Asendusvõte muuda

...

Valemid ja joonised muuda

Alljärgnevalt on eeldatud, et:

  •  
  •   on integreerimiskonstant

Määramata integraalid muuda

Triviaalsed integraalid muuda

Integaalide tabeli koostamisel on kasutatud elementaarfunktsioonide tuletiseid.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

Trigonomeetrilised funktsioonid muuda

Lisaks eelnimetatule:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  

Hüperboolsed funktsioonid muuda

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  

Mitte-elementaarsed integraalid muuda

Paljudel juhtudel ei ole   elementaarfunktsioonide kaudu lõplikult väljendatav. Triviaalseimad näited on integraal geomeetrilise nurga   jagatis  'ga ja 1 jagatis naturaallogaritmiga  ist. Antud juhtudel eksisteerib vastus komplekstasandil, ehk lisandub imaginaartelg.

integraalsiinus

 

integraalkoosinus

 

integraallogaritm

 

Geomeetrlise nurga integreerimine muuda

Hüperpoolsete ja trigonomeetriliste funktsioonite integreerimisel kerkib palju sarnaseid probleeme. Sageli on otstarbekas enne hüperpoolsete funktsioonide integreerimist teisendada integreeritavat avaldist, kasutades mõnda järgnevatest valemitest[4].

Trigonomeetrilised valemid muuda

Järgnevate valemite tõestuse video, on saadaval: khanacadamy [ EN ]
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  Pikemalt artiklis Trigonomeetrilised_funktsioonid

Hüperboolsed valemid muuda

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  Pikemalt artiklis Hüperboolsed_funktsioonid
  • sinh(x)
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  Pikemalt artiklis Hüperboolne_siinus
  • cosh(x)
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  Pikemalt artiklis Hüperboolne_koosiinus
  • coth(x)
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  Pikemalt artiklis Hüperboolne_kootangens
  • tanh(x)
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  Pikemalt artiklis Hüperboolne_tangens

Joonised muuda

Mitte-elementaarsed integraalid muuda

Geomeetrlise nurgad muuda

Trigonomeetriliste funktsioonide standardkuju joonised muuda

Arkusfunktsioonide standardkuju joonised muuda

Hüperboolsete funktsioonide standardkuju joonised muuda

Areafunktsioonide standardkuju joonised muuda

Integraali rakendusi muuda

Integraali abil saab leida näiteks:

  • funktsiooni ja x-teljega piiratud ala neto pindala. Kui integraali võetakse x'i järgi, siis pindala mis on x-telje peal on positiivne ja x-telje all on negatiivne, st. täispindala saamiseks tuleb integraal alamlõikude summana arvutada, kus negatiivsetest pindaladest tuleb absoluutväärtus võtta.
  • Füüsikas kiirendust integreerides aja järgi saab kiiruse
  • Füüsikas hetkkiirust integreerides aja järgi saab siirde.

Materjalid muuda

Vaata ka muuda

Viited muuda

  1. WolframAlpha [EN] Otsingumootor, mis lahendab Mathematica programmeerimiskoodi sh. integraale. Lisaks vastusele luuakse joonis ja nupuvajutusega on võimalik genereerida määramata integraalile lahenduskäik selgitustega - nõnda nagu inimene integraale lahendab.
  2. Wolfram Integrator [EN] Võimaldab võhikutel ühekordse määramata integraali vastus leida, integreerides x'i järgi.
  3. PatrickJMT [EN] Suur kogus kvaliteetsed video loengud teemade / ülessannete kaupa, sh. integraale, ülikooli matemaatika kursuste kontekstis.
  4. KHANACADEMY [EN] Massiivne kogus haridus materjale sisu, sh. integraale. Võimaldab ka veebis ülessannete lahendamist, nende automaatne hindamist ja abi. Võitnud Google: Project 10^100[5] ja on Bill Gates'i lemmik õpetaja[6].

Kirjandus muuda

  • Tammeraid, Ivar (2001), Matemaatiline analüüs I : Elektrooniline õppevahend (1st ed.), TTÜ Kirjastus, ISBN 9985-59-289-1
  • Tammeraid, Ivar (2003), Matemaatiline analüüs II (1st ed.), TTÜ Kirjastus, ISBN 9985-59-366-9
  • Strang, Gilbert (1999), Calculus: Online Textbook (1st ed.), Wellesly-Cambridge Press, ISBN 9780961408824

Allikad muuda

  1. "Riemann integral: Määramatud integraal". 2011. Vaadatud 3. jaanuaril 2011.
  2. "Riemann integraal: Määramata integraal". 2011. Vaadatud 3. jaanuaril 2011.
  3. "Määramata integraali omadused". 2010. Vaadatud 28. detsembril 2010.
  4. Matemaatiline analüüs I - Ivar Tammeraid; lk 161.
  5. http://www.project10tothe100.com/index.html
  6. http://money.cnn.com/2010/08/23/technology/sal_khan_academy.fortune/index.htm