Integraal
(Ümber suunatud leheküljelt Integreerimine)
Integreerimine on koos oma pöördtehte diferentseerimisega üks matemaatilise analüüsi baasmõistetest.
Määratud integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) lõigul [a,b] on suurus
mida võib tõlgendada kui funktsiooni f(x) graafiku ja x-teljega piiratud pinna pindala. Pindala loetakse negatiivseks, kui f(x) on negatiivne, ja positiivseks, kui f(x) on positiivne.
Määramata integraal reaalmuutuja funktsioonist f(x) on funktsioon
kus tuletis F'(x) = f(x). Määramata integraali tundmine võimaldab arvutada määratud integraali:
Viimast võrdust nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.
Formaalsed definitsioonid
muudaIntegraali võib defineerida erinevalt. Järgnevalt on toodud mõned levinumad integraalide tüübid:
- Riemanni integraal defineeritakse Riemanni summa piirväärtusena; esimene range integraali käsitlus, mida ka tänapäeval kõrgema matemaatika kursustes õpetatakse;
- Darboux' integraal on samaväärne Riemanni integraaliga, kuid defineeritud Darboux' summade kaudu;
- Riemanni–Stieltjesi integraal on Riemanni integraali üldistus;
- Lebesgue'i integraal on üldisem kui Riemanni integraal. See on defineeritud mõõduteooria abil;
- Lebesgue–Stieltjes integraal, mille töötas välja Johann Radon, on Riemanni–Stieltjesi integraali ja Lebesgue'i integraali üldistus;
- Henstocki–Kurzweili integraal;
- Itō integraal ja Stratonovichi integraal on integraalid, mida rakendatakse stohhastikas;
- Haari integraal on Lebesgue'i integraal, mis kasutab Haari mõõtu.
Integraalide liigitus integreerimispiirkonna järgi
muudaIntegraale saab liigitada nende integreerimispiirkonna järgi: