Ekvivalentsiseos

Ekvivalentsiseoseks ehk ekvivalentsusseoseks nimetatakse binaarset seost mingil hulgal A, kui see seos on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne, st seos ~ on ekvivalentsiseos parajasti siis, kui

1. a~a (refleksiivsus)
2. a~b => b~a (sümmeetrilisus)
3. (a~b)&(b~c) => a~c (transitiivsus)

ehk vastavalt kui iga element on iseendaga seoses ~, kui a on b-ga seoses ~, siis b on a-ga seoses ~ ja kui a on b-ga seoses ~ ja b on omakorda c-ga seoses ~, siis on a ka c-ga seoses ~.

Tähistused

Asjaolu, et elemendid a ja b on omavahel ekvivalentsusseoses R, tähistatakse kirjanduses mitmel moel. Kõige tavalisemad tähistused on "a~b" ja "a≡b", mida kasutatakse juhul, kui kontekstist on selge, millist ekvivalentsiseost R silmas peetakse.

Kui on tarvis viidata sellele, millisest ekvivalentsiseosest R on jutt, siis kõige tavalisemad tähistused on "a~_Rb", "a≡_Rb" ja "aRb".

Suhted aksioomide vahel

Kui iga elemendi a korral hulgast A on olemas teine element b, mis kuulub hulka A ja millega a on seoses, siis sümmeetrilisusest ja transitiivsusest järeldub refleksiivsus. Tõepoolest, tähistame selle seose R. Kui aRb, siis seose R sümmeetrilisuse tõttu ka bRa; sellest aga, et aRb ja bRa, järeldub seose R transitiivsuse tõttu, et aRa. Et sellise järelduse saab teha iga elemendi a korral, siis seos R on refleksiivne.

Sümmeetrilisusest ja transitiivsusest üldjuhul siiski refleksiivsus ei järeldu. Võtame näiteks kõigi täisarvude hulga. Defineerime seose R nii: täisarvud a ja b on seoses R parajasti siis, kui mõlemad on paarisarvud. See seos on ilmselt sümmeetriline ja transitiivne, kuid pole refleksiivne, sest paaritud arvud ei ole iseendaga selles seoses.

Ekvivalentsiklassid

 Pikemalt artiklis Ekvivalentsiklass

Elemendi a ekvivalentsiklassiks [a] seose s suhtes nimetatakse hulka $[a]=\{b\in A|a\sim b\}$.

Hulkoidid

 Pikemalt artiklis Hulkoid

Hulka A koos ekvivalentsiseosega ~ nimetatakse hulkoidiks.