Eksponentjaotus on üks pidev tõenäosusjaotus , mida kasutatakse tihti sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel. Kui juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ , siis tähistatakse seda eestikeelses kirjanduses sageli
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
.
Definitsioon
muuda
Tihedusfunktsioon
muuda
Juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ , kui tema tihedusfunktsiooniks on
f
(
x
)
=
{
0
,
kui
x
<
0
,
λ
e
−
λ
x
,
kui
x
⩾
0.
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&,\;{\mbox{kui }}x<0,\\\lambda e^{-\lambda x}&,\;{\mbox{kui }}x\geqslant 0.\end{matrix}}\right.}
Mõnikord on tähistatud λ-ga jaotuse argumendi pöördväärtust (nt
X
∼
Exp
(
α
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\alpha )}
, ning üleval toodud tihedusfunktsioonis võetakse
λ
=
1
α
{\displaystyle \lambda ={1 \over {\alpha }}}
).
Jaotusfunktsioon
muuda
Eksponentjaotusega parameetriga λ juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
,
1
−
e
−
λ
x
,
x
⩾
0.
{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&,\;x<0,\\1-e^{-\lambda x}&,\;x\geqslant 0.\end{matrix}}\right.}
Keskväärtus
muuda
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
, siis tema keskväärtus on
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
1
λ
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf(x)\operatorname {d} x={1 \over \lambda }}
.
Dispersioon
muuda
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
, siis tema dispersioon on
D
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
∫
0
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
−
1
λ
2
=
1
λ
2
{\displaystyle \operatorname {D} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\int _{0}^{\infty }x^{2}f(x)\operatorname {d} x-{1 \over \lambda ^{2}}={1 \over \lambda ^{2}}}
.
Kui
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
, siis tema mediaan on
F
−
1
(
1
2
)
=
ln
(
2
)
λ
{\displaystyle \operatorname {F} ^{-1}({1 \over 2})={{\operatorname {ln} (2)} \over \lambda }}
.
Siin
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
tähistab jaotusfunktsiooni F pöördfunktsiooni .
Kvantiilid
muuda
Eksponentjaotuse kvantiilid avalduvad valemiga
F
−
1
(
p
)
=
−
ln
(
1
−
p
)
λ
{\displaystyle F^{-1}(p)={{-\operatorname {ln} (1-p)} \over \lambda }}
,
kus
0
⩽
p
<
1
{\displaystyle 0\leqslant p<1}
.
Mäluta omadus
muuda
Eksponentjaotus on nn mäluta jaotus, st iga
s
,
t
⩾
0
{\displaystyle s,t\geqslant 0}
korral kehtib järgneva tingliku tõenäosuse kohta võrdus
P
(
X
>
s
+
t
|
X
>
t
)
=
P
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {P} (X>s+t\;|\;X>t)=\operatorname {P} (s)}
.
See võrdus tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus tulevikus ei sõltu tema mittetoimumisest minevikus. Näiteks kui me teame, et lambipirn on põlenud juba 100 tundi, ning me tahame teada tõenäosust, et ta põleb veel 300 tundi, siis selle tõenäosus on sama, mis tõenäosus, et uus lambipirn põleb 300 tundi.