Topoloogiline ruum: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
33. rida:
Samamoodi on mistahes mittetühja hulga <math>X</math> korral hulk <math>2^X</math> (hulga <math>X</math> kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal <math>X</math>; teda nimetatakse '''diskreetseks topoloogiaks''' hulgal <math>X</math>. Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal <math>X</math>.
===Kolõplik topoloogia===
Olgu <math>X</math> mistahes mittetühi hulk ning <math>A</math> tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis <math>\{\empty; X\} \cup \{U\!\subset\!X \ |\ X \!\setminus\!U \in A </math>\} on topoloogia hulgal <math>X</math>; seda nimetatakse '''kolõplikuks topoloogiaks''' hulgal <math>X</math>.
===Meetriline ruum topoloogilise ruumina===
Olgu <math>(X; \rho)</math> [[meetriline ruum]]. Tähistame <math>B(a, r)</math> abil lahtist kera keskpunktiga <math>x</math> ja raadiusega <math>r</math>, s. o. <math>B(a, r) := \{ x \in X \ |\ \rho(x, a) < r \}</math> iga <math>a \in X, r > 0</math> korral. Siis <math>\{ U \subset X\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, r > 0 \ : \ B(a, r) \subset U\}</math> on topoloogia hulgal <math>X</math> — see on [[kauguse]] <math>\rho</math> poolt määratud topoloogia hulgal <math>X</math>.
Kaks erinevat
Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle ruumi topoloogia, nimetatakse '''metriseeruvaks''' topoloogiliseks ruumiks.
Kui <math>(X; \rho)</math> on meetriline ruum, <math>\tau_X</math> on kauguse <math>\rho</math> poolt määratud topoloogia hulgal X ning <math>A</math> on hulga <math>X</math> mittetühi alamhulk, siis kauguse <math>\rho</math> poolt hulgal <math>A</math> määratud topoloogia on hulga <math>A</math> [[alamruumi topoloogia]] topoloogilises ruumis <math>(X; \tau_X)</math>.
===Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides===
Arvuhulgad <math>\mathbb{R}</math> ja <math>\mathbb{C}</math> on [[normeeritud ruum]]id ''loomuliku [[norm]]i'' <math>\left\|x\right\| = |x|</math> suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava ''loomuliku kauguse'' <math>\rho(x, y) = | x - y |</math> suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse '''loomulikuks topoloogiaks''' vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga <math>\mathbb{R}</math> loomulik topoloogia on väljakirjutatuna <math>\{ U \subset \mathbb{R}\ |\ \forall \, a \in U \ \exists \, \epsilon > 0 \ : (a-\epsilon, a+\epsilon) \subset U\}</math>.
Olgu <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> ja <math>n \in \mathbb{N}</math>. Osutub, et iga kahe normi <math>\left\|\cdot\right\|_1</math> ja <math>\left\|\cdot\right\|_2</math> korral vektorruumil <math>\mathbb{K}^n</math> (üle korpuse <math>\mathbb{K}</math>) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia ruumides <math>\mathbb{K}^n</math> kui mistahes normeeritud ruumi <math>(\mathbb{K}^n; \left\|\cdot\right\|)</math> normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.
Kui <math>A</math> on mingi ruumi <math>\mathbb{K}^n</math> mittetühi alamhulk ja <math>\tau</math> on loomulik topoloogia hulgal <math>\mathbb{K}^n</math>, siis hulga <math>A</math> loomulikuks topoloogiaks nimetame tema [[alamruumi topoloogia]]t ruummis <math>(\mathbb{K}^n; \tau)</math>. Kui mingi kaugus <math>\rho</math> määrab loomuliku topoloogia hulgal <math>\mathbb{K}^n</math>, siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal <math>A</math>. Näiteks kaugus <math>\rho(x, y) = | x - y |</math> määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal <math>\mathbb{N}</math> või lõigul <math>[a, b]</math>. Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.
===Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia===
Tähistame iga <math>k \in \mathbb{N}</math> korral <math>A_k := \{k,\ k+1,\ k+2,\ ...\}</math>. Siis
<math>\empty \cup \{A_k\ |\ k \in \mathbb{N}\}</math> on topoloogia hulgal <math>\mathbb{N}</math>.
[[Kategooria:Matemaatika]]
| |||