Topoloogiline ruum: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
PResümee puudub |
||
41. rida:
===Loomulik topoloogia hulkadel <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>===
Arvuhulgad <math>\mathbb{R}</math> ja <math>\mathbb{C}</math> on [[normeeritud ruum]]id ''loomuliku [[norm]]i'' <math>\left\|x\right\| = |x|</math> suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava ''loomuliku kauguse'' <math>\rho(x, y) = | x - y |</math> suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse '''loomulikuks topoloogiaks''' vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga <math>\mathbb{R}</math> loomulik topoloogia on väljakirjutatuna <math>\{ U \subset
Olgu <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math> ja <math>n \in \mathbb{N}</math>. Osutub, et iga kahe normi <math>\left\|\cdot\right\|_1</math> ja <math>\left\|\cdot\right\|_2</math> korral vektorruumil <math>\mathbb{K}^n</math> (üle korpuse <math>\mathbb{K}</math>) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia ruumides <math>\mathbb{K}^n</math> kui mistahes normeeritud ruumi <math>(\mathbb{K}^n; \left\|\cdot\right\|)</math> normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.
| |||